ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите минимальный отрезок [а; b] с целочисленными концами, которому принадлежат все члены последовательности:

а) $a_n = 7 — \frac{1}{n}$

б) $b_n = 2 + \frac{1}{2n}$

в) $p_n=\frac{2n+1}{2n-1}$

г) $q_n=\frac{2n-1}{2n+1}$

Найти минимальный отрезок $[a; b]$ с целочисленными концами, которому принадлежат все члены последовательности:

а) $a_n = 7 — \frac{1}{n}$;

Пусть $f_n = \frac{1}{n}$, тогда $f_n \in (0; 1]$;

$$a_{\max} = 7 — 0 = 7; \quad a_{\min} = 7 — 1 = 6;$$

Ответ: $[6; 7]$.

б) $b_n = 2 + \frac{1}{2n}$;

Пусть $f_n = \frac{1}{2n}$, тогда $f_n \in (0; 0{,}5]$;

$$b_{\max} = 2 + 0{,}5 = 2{,}5; \quad b_{\min} = 2 + 0 = 2;$$

Ответ: $[2; 3]$.

в) $p_n = \frac{2n+1}{2n-1} = \frac{2n — 1 + 2}{2n — 1} = 1 + \frac{2}{2n — 1}$;

Пусть $f_n = \frac{2}{2n — 1}$, тогда $f_n \in (0; 2]$;

$$p_{\max} = 1 + 2 = 3; \quad p_{\min} = 1 + 0 = 1;$$

Ответ: $[1; 3]$.

г) $q_n = \frac{2n — 1}{2n + 1} = \frac{2n + 1 — 2}{2n + 1} = 1 — \frac{2}{2n + 1}$;

Пусть $f_n = \frac{2}{2n + 1}$, тогда $f_n \in \left(0; \frac{2}{3}\right]$;

$$q_{\max} = 1 — 0 = 1; \quad q_{\min} = 1 — \frac{2}{3} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $[0; 1]$.

а) $a_n = 7 — \frac{1}{n}$

Шаг 1. Определим вид последовательности

Это последовательность, которая определяется формулой $a_n = 7 — \frac{1}{n}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Шаг 2. Анализ слагаемого $\frac{1}{n}$

При увеличении $n$, значение $\frac{1}{n}$ убывает:

• при $n = 1$: $\frac{1}{1} = 1$
• при $n \to \infty$: $\frac{1}{n} \to 0$

Значит:

$$\frac{1}{n} \in (0; 1]$$

Шаг 3. Найдём границы значений $a_n$

$$a_n = 7 — \frac{1}{n} \Rightarrow a_n \in (6; 7]$$

• Минимум: при $n = 1$:
  $a_1 = 7 — 1 = 6$
• При $n \to \infty$:
  $a_n \to 7$, но никогда не станет 7, только стремится.

Шаг 4. Найдём минимальный целый отрезок, содержащий все значения

Все значения $a_n$ лежат в интервале $(6; 7)$, включая 6, но не 7.

Значит, все члены попадают в отрезок:

$$[6; 7]$$

Ответ: $[6; 7]$

б) $b_n = 2 + \frac{1}{2n}$

Шаг 1. Анализ $\frac{1}{2n}$

• при $n = 1$: $\frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$
• при $n \to \infty$: $\frac{1}{2n} \to 0$

Значит:

$$\frac{1}{2n} \in (0; 0.5]$$

Шаг 2. Диапазон значений $b_n$

$$b_n = 2 + \frac{1}{2n} \Rightarrow b_n \in (2; 2.5]$$

• минимальное значение: при $n \to \infty$: $2$
• максимальное: при $n = 1$: $2 + \frac{1}{2} = 2.5$

Шаг 3. Минимальный целый отрезок

Значения лежат в интервале $(2; 2.5]$, следовательно, все значения попадают в:

$$[2; 3]$$

Ответ: $[2; 3]$

в) $p_n = \frac{2n+1}{2n-1}$

Шаг 1. Преобразуем дробь

Запишем:

$$p_n = \frac{2n — 1 + 2}{2n — 1} = 1 + \frac{2}{2n — 1}$$

Шаг 2. Анализ дополнительного слагаемого

$\frac{2}{2n — 1}$ при:

• $n = 1$: $\frac{2}{1} = 2$
• $n \to \infty$: $\to 0$

Значит:

$$\frac{2}{2n — 1} \in (0; 2] \Rightarrow p_n = 1 + \frac{2}{2n — 1} \in (1; 3]$$

Шаг 3. Минимальное и максимальное значение

• максимум: $1 + 2 = 3$
• минимум: $1 + 0 = 1$

Шаг 4. Минимальный отрезок

Все члены $p_n \in (1; 3]$

Целый отрезок, содержащий все значения:

$$[1; 3]$$

Ответ: $[1; 3]$

г) $q_n = \frac{2n — 1}{2n + 1}$

Шаг 1. Преобразуем дробь

$$q_n = \frac{2n + 1 — 2}{2n + 1} = 1 — \frac{2}{2n + 1}$$

Шаг 2. Анализ дополнительного слагаемого

• при $n = 1$: $\frac{2}{3} \approx 0.666…$
• при $n \to \infty$: $\frac{2}{2n + 1} \to 0$

$$\Rightarrow q_n = 1 — \frac{2}{2n + 1} \in \left(1 — \frac{2}{3}; 1\right) = \left(\frac{1}{3}; 1\right)$$

Шаг 3. Минимальное и максимальное значение

• минимум: $\frac{1}{3}$
• максимум: приближается к 1 (но никогда не достигает)

Шаг 4. Минимальный отрезок

$$\left(\frac{1}{3}; 1\right) \subset [0; 1]$$

Ответ: $[0; 1]$

Финальные ответы:

а) $[6; 7]$
б) $[2; 3]$
в) $[1; 3]$
г) $[0; 1]$