ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?

а) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; …$;

б) $-1; 2; -3; 4; -5; …$;

в) $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; …$;

г) $5; 4; 3; 2; 1; 0; -1; …$

Какие из заданных последовательностей ограничены снизу:

а) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; …$;

Составим уравнение последовательности:
$a_n = \frac{1}{n}$;
$a_n \in (0; 1)$;

Ответ: ограничена.

б) $-1; 2; -3; 4; -5; …$;

Составим уравнение последовательности:
$a_n = (-1)^n \cdot n$;

Если $b_n = (-1)^n$, тогда $b_n \in \{-1; 1\}$;
Если $c_n = n$, тогда $c_n \in [1; +\infty)$;

Имеем $a_n = b_n c_n$, значит $a_n \in (-\infty; +\infty)$;

Ответ: не ограничена.

в) $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; …$;

Составим уравнение последовательности:
$a_n = \frac{n}{n+1} = \frac{n+1 — 1}{n+1} = 1 — \frac{1}{n+1}$;

Если $b_n = \frac{1}{n+1}$, тогда $b_n \in (0; 0,5]$;

Имеем $a_{min} = 1 — 0,5 = 0,5$;

Ответ: ограничена.

г) $5; 4; 3; 2; 1; 0; -1; …$;

Составим уравнение последовательности:
$a_n = 6 — n$;
$a_n \in (-\infty; 5]$;

Ответ: не ограничена.

а) Последовательность:

$$1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \ldots$$

Шаг 1: Обозначим общий член последовательности:

$$a_n = \frac{1}{n}$$

Шаг 2: Исследуем поведение $a_n$:

• $n \in \mathbb{N}$, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$
• Тогда:

  $$a_1 = \frac{1}{1} = 1,\quad a_2 = \frac{1}{2} = 0.5,\quad a_3 = \frac{1}{3} \approx 0.333,\quad a_4 = \frac{1}{4} = 0.25,\quad \ldots$$

Шаг 3: Оценим сверху и снизу:

• Максимальное значение: $a_1 = 1$
• Последовательность убывает и стремится к нулю, но никогда не достигает 0.
• То есть:

  $$a_n \in (0; 1]$$

Вывод:

• Снизу ограничена нулём (т.е. больше нуля).
• Формально: $\exists M \in \mathbb{R}: \forall n \in \mathbb{N},\ a_n > M$, например, $M = 0$

Ответ: ограничена снизу.

б) Последовательность:

$$-1; 2; -3; 4; -5; \ldots$$

Шаг 1: Обозначим общий член:

$$a_n = (-1)^n \cdot n$$

Шаг 2: Вычислим первые значения:

• $a_1 = -1$, $a_2 = 2$, $a_3 = -3$, $a_4 = 4$, $a_5 = -5$, $a_6 = 6$, и т.д.

Шаг 3: Анализ поведения:

• Чётные $n$: $a_n = n > 0$
• Нечётные $n$: $a_n = -n < 0$
• Значения возрастают по модулю: $|-5| < |-7| < |-9| < \ldots$

Шаг 4: Проверим ограниченность снизу:

• При нечётных $n$ значения становятся всё меньше (по числовой прямой), то есть убывают в сторону $-\infty$

Ответ: не ограничена снизу.

в) Последовательность:

$$\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \ldots$$

Шаг 1: Обозначим общий член:

$$a_n = \frac{n}{n + 1}$$

Шаг 2: Преобразуем выражение:

$$a_n = \frac{n + 1 — 1}{n + 1} = 1 — \frac{1}{n + 1}$$

Шаг 3: Исследуем:

• $\frac{1}{n + 1} \in (0; 1)$
• Тогда $a_n \in (0; 1)$, а точнее:

  $$a_n = 1 — \frac{1}{n + 1} \in (0, 1)$$

Шаг 4: Вычислим первые значения:

• $a_1 = \frac{1}{2}$
• $a_2 = \frac{2}{3}$
• $a_3 = \frac{3}{4}$
• Последовательность возрастает и стремится к 1

Вывод:

• Снизу ограничена значением $\frac{1}{2}$, а теоретически — любой $M < \frac{1}{2}$
• Например, $M = 0$ подходит

Ответ: ограничена снизу.

г) Последовательность:

$$5; 4; 3; 2; 1; 0; -1; -2; \ldots$$

Шаг 1: Обозначим общий член:

$$a_n = 6 — n$$

Шаг 2: Проверим несколько значений:

• $a_1 = 5$
• $a_2 = 4$
• $a_3 = 3$
• $a_4 = 2$
• $a_5 = 1$
• $a_6 = 0$
• $a_7 = -1$
• $a_8 = -2$
• и т.д.

Шаг 3: Поведение:

• Последовательность убывает
• При больших $n$:

  $$\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$$

Вывод:

• Снизу не ограничена — можно получить сколь угодно малые (отрицательные) значения

Ответ: не ограничена снизу.