ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?

а) −3; −2; −1; 0; 1; …;

б) 1; −1; 1; −2; 1; −3; …;

в) $$$\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{5};\ \frac{1}{6};\ \ldots$

г) $\frac{\mathrm{}}{}$$\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\dots$

Какие из заданных последовательностей ограничены сверху:

а) −3; −2; −1; 0; 1; …;

Составим уравнение последовательности:
$a_n = n — 4;$
$a_n \in [-3; +\infty);$

Ответ: не ограничена.

б) 1; −1; 1; −2; 1; −3; …;

Составим уравнение последовательности:

$$a_n = \begin{cases} 1, \text{если } n = 2k + 1 \\ -0{,}5n, \text{если } n = 2k \end{cases};$$

$a_n \in (-\infty; -1] \cup \{1\};$

Ответ: ограничена.

в) $$$\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{5};\ \frac{1}{6};\ \ldots$

Составим уравнение последовательности:
$a_n = \frac{1}{n+1};$
$a_n \in (0; 0{,}5];$

Ответ: ограничена.

г) $\frac{\mathrm{}}{}$$\frac{1}{2};\ \frac{2}{3};\ \frac{3}{4};\ \frac{4}{5};\ \ldots$

Составим уравнение последовательности:

$$a_n = \frac{n}{n+1} = \frac{n+1 — 1}{n+1} = 1 — \frac{1}{n+1};$$

Если $b_n = \frac{1}{n+1}$, тогда $b_n \in (0; 0{,}5];$

Имеем $a_{\max} = 1 — 0 = 1;$

Ответ: ограничена.

Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?
То есть — существует ли такое число M, что все члены последовательности меньше либо равны этому числу.

а) Последовательность:

$$-3; -2; -1; 0; 1; \ldots$$

Шаг 1. Определим общий член:
Видно, что каждое следующее число увеличивается на 1. Значит, это арифметическая прогрессия:

$$a_n = -3 + (n — 1) = n — 4$$

Шаг 2. Исследуем поведение последовательности:

$$a_n = n — 4 \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty$$

Члены последовательности неограниченно возрастают, начиная с $a_1 = -3$. Следовательно, сверху она не ограничена.

Ответ: не ограничена.

б) Последовательность:

$$1; -1; 1; -2; 1; -3; \ldots$$

Шаг 1. Замечаем чередование:

• Нечетные члены: $a_{2k-1} = 1$
• Четные члены: $a_{2k} = -k = -\frac{n}{2} \Rightarrow a_n = -0{,}5n$

Или записываем формулу так:

$$a_n = \begin{cases} 1, & n \text{ нечётное} \\ -0{,}5n, & n \text{ чётное} \end{cases}$$

Шаг 2. Исследуем поведение:

• Нечётные члены всегда равны 1 → максимум равен 1
• Чётные члены убывают: −2, −3, −4, … → стремятся к минус бесконечности

Следовательно:

• Сверху ограничена: наибольшее значение $a_n = 1$
• Снизу не ограничена

Ответ: ограничена.

в) Последовательность:

$$\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}; \ldots$$

Шаг 1. Найдем общий член:

$$a_n = \frac{1}{n + 1} \quad \text{(так как 1/2 = 1/(1+1), 1/3 = 1/(2+1), …)}$$

Шаг 2. Исследуем поведение:

• При $n = 1$: $a_1 = \frac{1}{2}$
• При $n \to \infty$: $a_n = \frac{1}{n+1} \to 0$

Значит:

$$a_n \in (0; 0{,}5]$$

Наибольшее значение = 0.5
Следовательно, сверху ограничена, например, $M = 0{,}5$

Ответ: ограничена.

г) Последовательность:

$$\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \ldots$$

Шаг 1. Общий член:

$$a_n = \frac{n}{n+1}$$

Шаг 2. Преобразуем:

$$a_n = \frac{n+1 — 1}{n+1} = 1 — \frac{1}{n+1}$$

Шаг 3. Исследуем поведение:

• При $n = 1$: $a_1 = \frac{1}{2}$
• При $n = 2$: $a_2 = \frac{2}{3}$
• При $n = 3$: $a_3 = \frac{3}{4}$
• …
• При $n \to \infty$: $a_n \to 1$

Значит:

$$a_n \in (0; 1), \quad a_{\max} \to 1$$

Наибольшее значение стремится к 1, но никогда не превышает 1.

Следовательно, ограничена сверху числом 1.

Ответ: ограничена.

Финальные ответы:

а) не ограничена

б) ограничена

в) ограничена

г) ограничена