ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?

а)

$$\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4};\ \ldots;\ \frac{1}{n+1};\ \ldots$$

б)

$$\frac{1}{2};\ \frac{3}{4};\ \frac{5}{6};\ \ldots;\ \frac{2n-1}{2n};\ \ldots$$

в)

$$5;\ -5;\ 5;\ -5;\ \ldots;\ (-1)^{n+1}\cdot 5;\ \ldots$$

г)

$$-2;3;-4;5;\dots ;(-1{)}^n\cdot (n+1);\dots$$

Какие из заданных последовательностей являются ограниченными:

а)

$$\frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4};\ \ldots;\ \frac{1}{n+1};\ \ldots$$

Пусть

$$a_n = \frac{1}{n+1},$$

тогда

$$a_n \in (0;\ 0{,}5];$$

Ответ: ограничена.

б)

$$\frac{1}{2};\ \frac{3}{4};\ \frac{5}{6};\ \ldots;\ \frac{2n-1}{2n};\ \ldots$$

Пусть

$$b_n = \frac{1}{2n}, \quad b_n \in (0;\ 0{,}5];$$

Пусть

$$a_n = \frac{2n-1}{2n} = 1 — \frac{1}{2n} = 1 — b_n,$$

тогда

$$a_{\min} = 1 — 0{,}5 = 0{,}5,\quad a_{\max} = 1 — 0 = 1;$$

Ответ: ограничена.

в)

$$5;\ -5;\ 5;\ -5;\ \ldots;\ (-1)^{n+1}\cdot 5;\ \ldots$$

Пусть

$$b_n = (-1)^{n+1}, \quad b_n \in \{-1;\ 1\};$$

Пусть

$$a_n = (-1)^{n+1}\cdot 5 = 5b_n,$$

тогда

$$a_{\min} = -1 \cdot 5 = -5,\quad a_{\max} = 1 \cdot 5 = 5;$$

Ответ: ограничена.

г)

$$-2;\ 3;\ -4;\ 5;\ \ldots;\ (-1)^n \cdot (n+1);\ \ldots$$

Пусть

$$b_n = (-1)^n,\quad b_n \in \{-1;\ 1\};$$

Пусть

$$c_n = n+1,\quad c_n \in [2;\ +\infty);$$

Тогда

$$a_n = (-1)^n \cdot (n+1) = b_n c_n \in (-\infty;\ +\infty);$$

Ответ: не ограничена.

Напомним: последовательность называется ограниченной, если существуют числа $m, M \in \mathbb{R}$ такие, что для всех $n\in\mathbb{N}$

$$m \le a_n \le M.$$

(то есть есть и верхняя, и нижняя границы).

а) $\;\displaystyle \frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4};\ \ldots;\ \frac{1}{n+1};\ \ldots$

1) Общий член

$$a_n=\frac{1}{n+1}.$$

2) Точные неравенства для всех $n\ge 1$

Так как $n+1\ge 2$, имеем

$$0<\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{2}.$$

3) Явные границы

• Нижняя граница: можно взять $m=0$ (строгое неравенство «$>$», но для ограниченности достаточно $a_n\ge m$ — и $0$ подходит).
• Верхняя граница: $M=\dfrac{1}{2}$.

Также:

• $\inf a_n = 0$ (предел при $n\to\infty$: $a_n\to 0$),
• $\sup a_n = \dfrac{1}{2}=a_1$.

Вывод

Последовательность ограничена (и сверху, и снизу).

Ответ: ограничена.

б) $\;\displaystyle \frac{1}{2};\ \frac{3}{4};\ \frac{5}{6};\ \ldots;\ \frac{2n-1}{2n};\ \ldots$

1) Общий член и преобразование

$$a_n=\frac{2n-1}{2n}=1-\frac{1}{2n}.$$

2) Точные неравенства для всех $n\ge 1$

Так как $2n\ge 2$, то $0<\frac{1}{2n}\le \frac{1}{2}$. Следовательно,

$$1-\frac{1}{2}\le 1-\frac{1}{2n}<1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}\le a_n<1.$$

3) Явные границы

• Нижняя граница: $m=\dfrac{1}{2}=a_1$ (достигается).
• Верхняя граница: можно взять $M=1$ (не достигается, но это не требуется для ограниченности).

Также:

• $\inf a_n=\dfrac{1}{2}$,
• $\sup a_n=1$ (предельная верхняя граница, $a_n\ne 1$, но стремится к 1).

Вывод

Последовательность ограничена.

Ответ: ограничена.

в) $\;\displaystyle 5;\ -5;\ 5;\ -5;\ \ldots;\ (-1)^{\,n+1}\cdot 5;\ \ldots$

1) Общий член

$$a_n = (-1)^{\,n+1}\cdot 5.$$

2) Множество значений

Последовательность принимает ровно два значения: $5$ и $-5$.

3) Явные границы

• Нижняя граница: $m=-5$,
• Верхняя граница: $M=5$.

Также:

• $\inf a_n=-5$,
• $\sup a_n=5$.

Вывод

Последовательность ограничена (не смотря на «качание» знака, значения лежат в отрезке $[-5,5]$).

Ответ: ограничена.

г) $\;\displaystyle -2;\ 3;\ -4;\ 5;\ \ldots;\ (-1)^n\,(n+1);\ \ldots$

1) Общий член

$$a_n = (-1)^n\,(n+1).$$

2) Поведение чётных и нечётных индексов

• Если $n=2k$ (чётный), то $a_{2k}= (+1)\cdot(2k+1)=2k+1\to +\infty$.
• Если $n=2k-1$ (нечётный), то $a_{2k-1}= (-1)\cdot(2k)+(-1)^?$ аккуратно:

  $$a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}\bigl((2k-1)+1\bigr)=(-1)\cdot(2k)=-2k\to -\infty.$$

То есть подпоследовательности по чётным индексам уходят к $+\infty$, по нечётным — к $-\infty$.

3) Следствие для ограниченности

• Сверху: не существует $M$, так как $a_{2k}\to +\infty$.
• Снизу: не существует $m$, так как $a_{2k-1}\to -\infty$.

Вывод

Последовательность не ограничена (ни сверху, ни снизу).

Ответ: не ограничена.