ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выясните, какие из приведённых последовательностей являются монотонными. Укажите характер монотонности:

а) $y_n=2n-1$;

б) $y_n=-5^{-n}$;

в) $y_n=n^2+8$;

г) $y_n=\frac{2}{3n+1}$

Выяснить, какие из приведенных последовательностей являются монотонными, указать характер монотонности:

а) $y_n=2n-1$;

Найдем разность соседних членов:

$$y_k=2k-1;$$$$y_{k+1}=2(k+1)-1=2k+2-1=2k+1;$$$$y_{k+1}-y_k=(2k+1)-(2k-1)=2>0;$$$$y_{k+1}>y_k;$$

Ответ: возрастает.

б) $y_n=-5^{-n}$;

Найдем отношение соседних членов:

$$y_k=-5^{-k};$$$$y_{k+1}=-5^{-(k+1)}=-5^{-k-1};$$$$\frac{y_{k+1}}{y_k}=\frac{-5^{-k-1}}{-5^{-k}}=5^{(-k-1)+k}=5^{-1}=\frac{1}{5}<1;$$$$y_{k+1}<y_k;$$

Ответ: убывает.

в) $y_n=n^2+8$;

Найдем разность соседних членов:

$$y_k=k^2+8;$$$$y_{k+1}=(k+1{)}^2+8=k^2+2k+1+8=k^2+2k+9;$$$$y_{k+1}-y_k=(k^2+2k+9)-(k^2+8)=2k+1>0;$$$$y_{k+1}>y_k;$$

Ответ: возрастает.

г) $y_n=\frac{2}{3n+1}$;

Найдем разность соседних членов:

$$y_k=\frac{2}{3k+1};$$$$y_{k+1}=\frac{2}{3(k+1)+1}=\frac{2}{3k+3+1}=\frac{2}{3k+4};$$$$y_{k+1}-y_k=\frac{2}{3k+4}-\frac{2}{3k+1}=\frac{2(3k+1)-2(3k+4)}{(3k+1)(3k+4)};$$$$y_{k+1}-y_k=\frac{6k+2-6k-8}{(3k+1)(3k+4)}=-\frac{6}{(3k+1)(3k+4)}<0;$$$$y_{k+1}<y_k;$$

Ответ: убывает.

а) $y_n = 2n — 1$

ШАГ 1: Запишем общий вид последовательности

$$y_n = 2n — 1$$

Это линейная функция с положительным коэффициентом при $n$, значит график будет прямой, направленной вверх.

ШАГ 2: Проверим разность соседних членов

Найдём разность $y_{n+1} — y_n$:

$$y_{n+1} = 2(n+1) — 1 = 2n + 2 — 1 = 2n + 1$$ $$y_n = 2n — 1$$

Теперь вычтем:

$$y_{n+1} — y_n = (2n + 1) — (2n — 1) = 2$$

ШАГ 3: Анализ

Разность положительная:

$$y_{n+1} — y_n = 2 > 0$$

Это означает: каждый следующий член больше предыдущего, т.е. последовательность возрастает.

Ответ: последовательность монотонно возрастает.

б) $y_n = -5^{-n}$

ШАГ 1: Упростим выражение

$$y_n = -\frac{1}{5^n}$$

То есть, при увеличении $n$, знаменатель растёт, и вся дробь становится всё меньше по модулю, но остается отрицательной.

ШАГ 2: Проверим отношение соседних членов

Найдём:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{-5^{-(n+1)}}{-5^{-n}} = \frac{1}{5}$$

ШАГ 3: Анализ

Так как $\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1}{5} < 1$, то:

$$y_{n+1} < y_n$$

Пояснение

Это значит, что по мере роста $n$:

• $y_n$ приближается к нулю (снизу),
• значения становятся меньше (т.е. ближе к нулю, но всё ещё меньше).

Ответ: последовательность монотонно убывает.

в) $y_n = n^2 + 8$

ШАГ 1: Определим поведение

Это квадратичная функция. Основное слагаемое $n^2$ растёт с увеличением $n$.

ШАГ 2: Найдём разность соседних членов

Пусть:

$$y_n = n^2 + 8,\quad y_{n+1} = (n+1)^2 + 8$$

Посчитаем:

$$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \Rightarrow y_{n+1} = n^2 + 2n + 1 + 8 = n^2 + 2n + 9$$

Теперь:

$$y_{n+1} — y_n = (n^2 + 2n + 9) — (n^2 + 8) = 2n + 1$$

ШАГ 3: Анализ

$$y_{n+1} — y_n = 2n + 1$$

Так как при любом натуральном $n$ значение $2n + 1 > 0$, следовательно:

$$y_{n+1} > y_n$$

Ответ: последовательность монотонно возрастает.

г) $y_n = \frac{2}{3n + 1}$

ШАГ 1: Проанализируем

Это дробь, где числитель — постоянный, а знаменатель увеличивается при росте $n$. Значит, вся дробь уменьшается.

ШАГ 2: Найдём разность соседних членов

Пусть:

$$y_n = \frac{2}{3n + 1},\quad y_{n+1} = \frac{2}{3(n+1) + 1} = \frac{2}{3n + 4}$$

Теперь найдём разность:

$$y_{n+1} — y_n = \frac{2}{3n + 4} — \frac{2}{3n + 1}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$= \frac{2(3n + 1) — 2(3n + 4)}{(3n + 1)(3n + 4)} = \frac{6n + 2 — (6n + 8)}{(3n + 1)(3n + 4)} = \frac{-6}{(3n + 1)(3n + 4)}$$

ШАГ 3: Анализ

Числитель < 0, знаменатель > 0 при $n \in \mathbb{N}$, поэтому:

$$y_{n+1} — y_n < 0 \Rightarrow y_{n+1} < y_n$$

Ответ: последовательность монотонно убывает.