ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y_n = (-2)^n$;

б) $y_n = \cos \dfrac{\pi}{n + 5}$;

в) $y_n = n^3 — 5$;

г) $y_n = \sqrt{n + 8}$

Выяснить, какие из приведенных последовательностей являются монотонными, указать характер монотонности:

а) $y_n = (-2)^n$;

Найдем отношение соседних членов:

$$y_k = (-2)^k;$$ $$y_{k+1} = (-2)^{k+1};$$ $$\frac{y_{k+1}}{y_k} = \frac{(-2)^{k+1}}{(-2)^k} = (-2)^{(k+1)-k} = (-2)^1 = -2 < 0;$$

Ответ: не монотонная.

б) $y_n = \cos \dfrac{\pi}{n + 5}$;

Функция

$$a_n = \frac{\pi}{n + 5}$$

убывает на $[1; +\infty)$ и

$$a_n \in \left(0; \frac{\pi}{6}\right];$$

Функция $y = \cos x$ убывает на $\left(0; \frac{\pi}{6}\right]$;

Ответ: возрастает.

в) $y_n = n^3 — 5$;

Найдем разность соседних членов:

$$y_k = k^3 — 5;$$ $$y_{k+1} = (k + 1)^3 — 5 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 — 5 = k^3 + 3k^2 + 3k — 4;$$ $$y_{k+1} — y_k = (k^3 + 3k^2 + 3k — 4) — (k^3 — 5) = 3k^2 + 3k + 1 > 0;$$ $$y_{k+1} > y_k;$$

Ответ: возрастает.

г) $y_n = \sqrt{n + 8}$;

Найдем отношение соседних членов:

$$y_k = \sqrt{k + 8};$$ $$y_{k+1} = \sqrt{(k + 1) + 8} = \sqrt{k + 9};$$ $$\frac{y_{k+1}}{y_k} = \frac{\sqrt{k + 9}}{\sqrt{k + 8}} = \sqrt{\frac{k + 9}{k + 8}} = \sqrt{1 + \frac{1}{k + 8}} > 1;$$

Ответ: возрастает.

а) $y_n = (-2)^n$

1) Наблюдение по первым членам

$$y_1=-2,\quad y_2=4,\quad y_3=-8,\quad y_4=16,\;\ldots$$

Знак чередуется, а модуль удваивается.

2) Отношение соседних членов

$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n}=(-2).$$

Постоянный множитель отрицателен, значит знак меняется каждый шаг: это исключает монотонность.

3) Вывод

Последовательность не монотонна (ни неубывающая, ни невозрастающая).

Ответ: не монотонная.

б) $y_n=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{n+5}\right)$

1) Рассмотрим «внутренний» аргумент

$$a_n=\frac{\pi}{n+5}.$$

На $n\ge 1$: знаменатель растёт $\Rightarrow$ $a_n$ убывает и лежит в

$$a_n\in\Bigl(0,\;\tfrac{\pi}{6}\Bigr],\quad\text{поскольку }a_1=\tfrac{\pi}{6},\ a_n\to0^+.$$

2) Свойство косинуса

Функция $y=\cos x$ строго убывает на $[0,\pi]$, в частности на $\bigl(0,\tfrac{\pi}{6}\bigr]$.

3) Композиция «убывающая после убывающей»

Если $n_1<n_2$, то $a_{n_1}>a_{n_2}$. Поскольку $\cos x$ убывает по $x$, получаем

$$\cos(a_{n_1})<\cos(a_{n_2}) \;\;\Rightarrow\;\; y_{n_1}<y_{n_2}.$$

Значит, по $n$ последовательность возрастает.

(Альтернатива: можно проверить знак разности $y_{n+1}-y_n>0$, но рассуждение через монотонность композиции короче и строго.)

4) Вывод

Последовательность строго возрастает.

Ответ: возрастает.

в) $y_n=n^3-5$

1) Разность соседних членов

$$y_{n+1}-y_n=\bigl((n+1)^3-5\bigr)-(n^3-5)=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1.$$

Для всех $n\in\mathbb{N}$: $3n^2+3n+1>0$.

2) Вывод

Каждый следующий член больше предыдущего $\Rightarrow$ последовательность строго возрастает.

Ответ: возрастает.

г) $y_n=\sqrt{\,n+8\,}$

1) Разность (или отношение) соседних членов

Разность:

$$y_{n+1}-y_n=\sqrt{n+9}-\sqrt{n+8}>0,$$

поскольку корень квадратный — строго возрастающая функция на $[0,\infty)$, а $n+9>n+8$.

Эквивалентно можно посмотреть отношение:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\sqrt{\frac{n+9}{n+8}}=\sqrt{1+\frac{1}{n+8}}>1.$$

2) Вывод

Последовательность строго возрастает.

Ответ: возрастает.

Итог по монотонности:

а) $(-2)^n$ — не монотонная (чередуются знак и растёт модуль).

б) $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{n+5}\right)$ — строго возрастает (убывающий аргумент в убывающем $\cos$).

в) $n^3-5$ — строго возрастает (разность $3n^2+3n+1>0$).

г) $\sqrt{n+8}$ — строго возрастает (возрастающий корень, $n+9>n+8$).