ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Приведите примеры последовательностей:

а) возрастающих и ограниченных сверху;

б) возрастающих и не ограниченных сверху;

в) убывающих и ограниченных снизу;

г) убывающих и не ограниченных снизу.

Привести примеры последовательностей:

а) Возрастающих и ограниченных сверху:
$a_n = 4 — \frac{3}{n}$;
$b_n = 5 — (0.5)^n$;
$c_n = \frac{n — 1}{n + 1}$;

б) Возрастающих и не ограниченных сверху:
$a_n = n^2$;
$b_n = 5n + 1$;
$c_n = 4^n — 2$;

в) Убывающих и ограниченных снизу:
$a_n = \frac{2}{n} — 1$;
$b_n = 5 + n^{-6}$;
$c_n = \frac{2}{2n + 1}$;

г) Убывающих и не ограниченных снизу:
$a_n = 9 — 10n$;
$b_n = 2n — n^2 + 3$;
$c_n = -n^{100}$

а) Возрастающие и ограниченные сверху

Пример 1: $a_n = 4 — \frac{3}{n}$

1. При $n=1: a_1 = 1$; при $n=2: a_2=2.5$; при $n=3: a_3=3$; при $n\to\infty: a_n \to 4$.
2. Разность:

$$a_{n+1} — a_n = \left(4-\frac{3}{n+1}\right)-\left(4-\frac{3}{n}\right) = \frac{3}{n}-\frac{3}{n+1} > 0.$$

Значит, $a_n$ возрастает.
3. Сверху ограничена числом $4$.

Пример 2: $b_n = 5 — (0.5)^n$

1. Первые члены: $b_1=4.5,\; b_2=4.75,\; b_3=4.875,\ldots$
2. Так как $(0.5)^n \to 0$, то $b_n\to 5$.
3. Разность:

$$b_{n+1}-b_n = -(0.5)^{n+1} — (-(0.5)^n) = (0.5)^n\left(1-0.5\right) > 0.$$

Значит, возрастает.
4. Ограничена сверху числом $5$.

Пример 3: $c_n = \dfrac{n-1}{n+1}$

1. Первые члены: $c_1=0,\; c_2=\tfrac{1}{3},\; c_3=\tfrac{2}{4}=0.5,\ldots$
2. При $n\to\infty: c_n \to 1$.
3. Разность:

$$c_{n+1}-c_n = \frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1} = \frac{(n)(n+1)-(n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0.$$

Значит, возрастает.
4. Ограничена сверху числом $1$.

Все три последовательности возрастающие и ограничены сверху.

б) Возрастающие и не ограниченные сверху

Пример 1: $a_n = n^2$

1. Очевидно: $1,4,9,16,\ldots$
2. Разность: $(n+1)^2-n^2=2n+1>0$.
3. Не ограничена сверху: $a_n\to+\infty$.

Пример 2: $b_n = 5n+1$

1. Арифметическая прогрессия: $6,11,16,\ldots$
2. Разность: $b_{n+1}-b_n=5>0$.
3. Не ограничена сверху: $b_n\to+\infty$.

Пример 3: $c_n = 4^n — 2$

1. Первые члены: $c_1=2,\; c_2=14,\; c_3=62,\ldots$
2. Отношение: $\frac{c_{n+1}}{c_n} \approx 4>1$. Значит, возрастающая.
3. При $n\to\infty$: $c_n\to+\infty$.

Все три последовательности возрастают и не ограничены сверху.

в) Убывающие и ограниченные снизу

Пример 1: $a_n=\frac{2}{n}-1$

1. Первые члены: $a_1=1,\; a_2=0,\; a_3\approx -0.33,\; a_4=-0.5$.
2. Разность:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{2}{n+1}-1 — \left(\frac{2}{n}-1\right)=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n}<0.$$

Значит, убывает.
3. При $n\to\infty: a_n\to -1$. Ограничена снизу числом $-1$.

Пример 2: $b_n = 5+n^{-6}$

1. Первые члены: $b_1=6,\; b_2=5.015625,\; b_3\approx 5.00137\ldots$
2. Разность отрицательна, так как $n^{-6}$ убывает.
3. При $n\to\infty: b_n\to 5$. Ограничена снизу числом $5$.

Пример 3: $c_n = \frac{2}{2n+1}$

1. Первые члены: $\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{5},\tfrac{2}{7},\ldots$.
2. Знаменатель растёт, значит дробь убывает.
3. При $n\to\infty: c_n\to 0$. Ограничена снизу числом $0$.

Все три последовательности убывающие и ограничены снизу.

г) Убывающие и не ограниченные снизу

Пример 1: $a_n=9-10n$

1. Первые члены: $-1,-11,-21,\ldots$.
2. Разность: $-10<0$. Последовательность убывает.
3. При $n\to\infty: a_n\to -\infty$. Не ограничена снизу.

Пример 2: $b_n = 2n-n^2+3=-n^2+2n+3$

1. При $n=1: b_1=4;\; n=2: b_2=3;\; n=3: b_3=-0.$
2. Это квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом, убывает при больших $n$.
3. При $n\to\infty: b_n\to -\infty$. Не ограничена снизу.

Пример 3: $c_n=-n^{100}$

1. Первые члены: $-1,-1024,-59049,\ldots$
2. С каждым шагом убывает.
3. При $n\to\infty: c_n\to -\infty$. Не ограничена снизу.

Все три последовательности убывают и не ограничены снизу.

Итог:

а) возрастающие, ограниченные сверху: $4-\tfrac{3}{n},\; 5-(0.5)^n,\; \tfrac{n-1}{n+1}$.

б) возрастающие, не ограниченные сверху: $n^2,\; 5n+1,\; 4^n-2$.

в) убывающие, ограниченные снизу: $\tfrac{2}{n}-1,\; 5+n^{-6},\; \tfrac{2}{2n+1}$.

г) убывающие, не ограниченные снизу: $9-10n,\; 2n-n^2+3,\; -n^{100}$.