ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$, если:

а) $x_n = \frac{5}{n^2}$;

б) $x_n = \frac{-17}{n^3}$;

в) $x_n = \frac{-15}{n^2}$;

г) $x_n = \frac{3}{\sqrt{n}}$

Вычислить $\lim_{n \to \infty} x_n$, если:

а) $x_n = \frac{5}{n^2}$;
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 5 \cdot 0 = 0$;
Ответ: 0.

б) $x_n = \frac{-17}{n^3}$;
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{17}{n^3}\right) = -17 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} = -17 \cdot 0 = 0$;
Ответ: 0.

в) $x_n = \frac{-15}{n^2}$;
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{15}{n^2}\right) = -15 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = -15 \cdot 0 = 0$;
Ответ: 0.

г) $x_n = \frac{3}{\sqrt{n}}$;
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 3 \cdot 0 = 0$;
Ответ: 0.

а) $x_n = \dfrac{5}{n^2}$

Шаг 1: Понимание выражения

Последовательность $x_n = \frac{5}{n^2}$ представляет собой дробь, числитель которой фиксирован (5), а знаменатель — квадрат натурального числа $n$.

Шаг 2: Поведение знаменателя при $n \to \infty$

Поскольку $n \to \infty$, то:

$$n^2 \to \infty$$

Шаг 3: Поведение дроби

Число делится на всё большее и большее значение:

$$\frac{1}{n^2} \to 0 \quad \text{при} \quad n \to \infty$$

Шаг 4: Умножение на константу

$$x_n = \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \frac{1}{n^2}$$

Следовательно,

$$\lim_{n \to \infty} x_n = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 5 \cdot 0 = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

б) $x_n = \dfrac{-17}{n^3}$

Шаг 1: Анализ

$$x_n = -\frac{17}{n^3}$$

Знаменатель $n^3 \to \infty$, числитель — фиксированное отрицательное число.

Шаг 2: Поведение

$$\frac{1}{n^3} \to 0 \quad \text{при} \quad n \to \infty$$

Шаг 3: Умножение на константу

$$\lim_{n \to \infty} x_n = -17 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} = -17 \cdot 0 = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

в) $x_n = \dfrac{-15}{n^2}$

Шаг 1: Анализ

$$x_n = -\frac{15}{n^2}$$

Аналогично предыдущему примеру, числитель — фиксированное отрицательное число, знаменатель растет бесконечно.

Шаг 2: Поведение дроби

$$\frac{1}{n^2} \to 0 \quad \Rightarrow \quad x_n \to -15 \cdot 0 = 0$$

Шаг 3: Формально

$$\lim_{n \to \infty} x_n = -15 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = -15 \cdot 0 = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

г) $x_n = \dfrac{3}{\sqrt{n}}$

Шаг 1: Разбор выражения

$$x_n = \frac{3}{\sqrt{n}}$$

Здесь знаменатель — квадратный корень из $n$, который также стремится к бесконечности при $n \to \infty$.

Шаг 2: Поведение

$$\sqrt{n} \to \infty \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$$

Шаг 3: Умножение

$$\lim_{n \to \infty} x_n = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 3 \cdot 0 = 0$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$

Финальные ответы:

а) $\boxed{0}$

б) $\boxed{0}$

в) $\boxed{0}$

г) $\boxed{{\displaystyle 0}}$