ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) 5, 10, 15, 20, 25, …;

б) 6, 12, 18, 24, 30, …;

в) 4, 8, 12, 16, 20, …;

г) 3, 6, 9, 12, 15, ….

Составить одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:

а) 5; 10; 15; 20; 25; …;
Дана арифметическая прогрессия:
$a_1 = 5,\ a_2 = 10;$
$d = a_2 — a_1 = 10 — 5 = 5;$
$a_n = a_1 + d(n — 1) = 5 + 5(n — 1) = 5n;$
Ответ: $a_n = 5n.$

б) 6; 12; 18; 24; 30; …;
Дана арифметическая прогрессия:
$a_1 = 6,\ a_2 = 12;$
$d = a_2 — a_1 = 12 — 6 = 6;$
$a_n = a_1 + d(n — 1) = 6 + 6(n — 1) = 6n;$
Ответ: $a_n = 6n.$

в) 4; 8; 12; 16; 20; …;
Дана арифметическая прогрессия:
$a_1 = 4,\ a_2 = 8;$
$d = a_2 — a_1 = 8 — 4 = 4;$
$a_n = a_1 + d(n — 1) = 4 + 4(n — 1) = 4n;$
Ответ: $a_n = 4n.$

г) 3; 6; 9; 12; 15; …;
Дана арифметическая прогрессия:
$a_1 = 3,\ a_2 = 6;$
$d = a_2 — a_1 = 6 — 3 = 3;$
$a_n = a_1 + d(n — 1) = 3 + 3(n — 1) = 3n;$
Ответ: $a_n = 3n.$

Составить одну из возможных формул $a_n$ — n-го члена последовательности по первым пяти её членам.

а) Последовательность: 5; 10; 15; 20; 25; …

Шаг 1. Определим первые члены

• $a_1 = 5$
• $a_2 = 10$
• $a_3 = 15$
• $a_4 = 20$
• $a_5 = 25$

Шаг 2. Проверим разность между соседними членами

• $a_2 — a_1 = 10 — 5 = 5$
• $a_3 — a_2 = 15 — 10 = 5$
• $a_4 — a_3 = 20 — 15 = 5$
• $a_5 — a_4 = 25 — 20 = 5$

Разность постоянна, значит это арифметическая прогрессия.

Шаг 3. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Общая формула:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим:

• $a_1 = 5$
• $d = 5$

$$a_n = 5 + 5(n — 1) = 5 + 5n — 5 = 5n$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = 5n}$$

б) Последовательность: 6; 12; 18; 24; 30; …

Шаг 1. Первые члены

• $a_1 = 6$
• $a_2 = 12$
• $a_3 = 18$
• $a_4 = 24$
• $a_5 = 30$

Шаг 2. Разности

• $a_2 — a_1 = 12 — 6 = 6$
• $a_3 — a_2 = 18 — 12 = 6$
• $a_4 — a_3 = 24 — 18 = 6$
• $a_5 — a_4 = 30 — 24 = 6$

Постоянная разность — арифметическая прогрессия.

Шаг 3. Формула

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим:

• $a_1 = 6$
• $d = 6$

$$a_n = 6 + 6(n — 1) = 6 + 6n — 6 = 6n$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = 6n}$$

в) Последовательность: 4; 8; 12; 16; 20; …

Шаг 1. Первые члены

• $a_1 = 4$
• $a_2 = 8$
• $a_3 = 12$
• $a_4 = 16$
• $a_5 = 20$

Шаг 2. Разности

• $a_2 — a_1 = 8 — 4 = 4$
• $a_3 — a_2 = 12 — 8 = 4$
• $a_4 — a_3 = 16 — 12 = 4$
• $a_5 — a_4 = 20 — 16 = 4$

Разность одинаковая ⇒ арифметическая прогрессия.

Шаг 3. Формула

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим:

• $a_1 = 4$
• $d = 4$

$$a_n = 4 + 4(n — 1) = 4 + 4n — 4 = 4n$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = 4n}$$

г) Последовательность: 3; 6; 9; 12; 15; …

Шаг 1. Первые члены

• $a_1 = 3$
• $a_2 = 6$
• $a_3 = 9$
• $a_4 = 12$
• $a_5 = 15$

Шаг 2. Разности

• $a_2 — a_1 = 6 — 3 = 3$
• $a_3 — a_2 = 9 — 6 = 3$
• $a_4 — a_3 = 12 — 9 = 3$
• $a_5 — a_4 = 15 — 12 = 3$

Разность постоянна — арифметическая прогрессия.

Шаг 3. Формула

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим:

• $a_1 = 3$
• $d = 3$

$$a_n = 3 + 3(n — 1) = 3 + 3n — 3 = 3n$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = 3n}$$

Итоговые ответы:

а) $a_n = 5n$
б) $a_n = 6n$
в) $a_n = 4n$
г) $a_n = 3n$