ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) 3, 9, 27, 81, 243, …;

б) 9, 16, 25, 36, 49, …;

в) 1, 8, 27, 64, 125, …;

г) 2, 9, 28, 65, 126, ….

Составить одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти её членам:

а) 3; 9; 27; 81; 243; …;
Дана последовательность натуральных степеней числа три:
3¹; 3²; 3³; 3⁴; 3⁵; …;
Ответ: $a_n = 3^n$.

б) 9; 16; 25; 36; 49; …;
Дана последовательность квадратов натуральных чисел:
3²; 4²; 5²; 6²; 7²; …;
Ответ: $a_n = (n + 2)^2$.

в) 1; 8; 27; 64; 125; …;
Дана последовательность кубов натуральных чисел:
1³; 2³; 3³; 4³; 5³; …;
Ответ: $a_n = n^3$.

г) 2; 9; 28; 65; 126; …;
Дана последовательность кубов натуральных чисел, к которым прибавлена единица:
1³ + 1; 2³ + 1; 3³ + 1; 4³ + 1; 5³ + 1; …;
Ответ: $a_n = n^3 + 1$.

Составить одну из возможных формул $a_n$ — n-го члена последовательности по первым пяти её членам.

а) Последовательность: 3; 9; 27; 81; 243; …

Шаг 1. Рассмотрим члены последовательности:

• $a_1 = 3$
• $a_2 = 9$
• $a_3 = 27$
• $a_4 = 81$
• $a_5 = 243$

Шаг 2. Попробуем разложить числа как степени числа 3:

• $3 = 3^1$
• $9 = 3^2$
• $27 = 3^3$
• $81 = 3^4$
• $243 = 3^5$

Шаг 3. Заметим закономерность:

Каждое число — это степень тройки.
Порядковый номер члена $n$ совпадает с показателем степени.

То есть:

$$a_n = 3^n$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = 3^n}$$

б) Последовательность: 9; 16; 25; 36; 49; …

Шаг 1. Запишем члены:

• $a_1 = 9$
• $a_2 = 16$
• $a_3 = 25$
• $a_4 = 36$
• $a_5 = 49$

Шаг 2. Попробуем представить как квадраты чисел:

• $9 = 3^2$
• $16 = 4^2$
• $25 = 5^2$
• $36 = 6^2$
• $49 = 7^2$

Шаг 3. Установим связь с номером члена $n$:

$$a_1 = 3^2 = (1 + 2)^2 \quad a_2 = 4^2 = (2 + 2)^2 \quad \dots \quad a_n = (n + 2)^2$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = (n + 2)^2}$$

в) Последовательность: 1; 8; 27; 64; 125; …

Шаг 1. Запишем члены:

• $a_1 = 1$
• $a_2 = 8$
• $a_3 = 27$
• $a_4 = 64$
• $a_5 = 125$

Шаг 2. Представим числа как кубы:

• $1 = 1^3$
• $8 = 2^3$
• $27 = 3^3$
• $64 = 4^3$
• $125 = 5^3$

Шаг 3. Связь с номером:

$$a_n = n^3$$

Каждое число — это куб его номера в последовательности.

Ответ:

$$\boxed{a_n = n^3}$$

г) Последовательность: 2; 9; 28; 65; 126; …

Шаг 1. Запишем члены:

• $a_1 = 2$
• $a_2 = 9$
• $a_3 = 28$
• $a_4 = 65$
• $a_5 = 126$

Шаг 2. Попробуем вычесть 1 из каждого члена:

• $2 — 1 = 1 = 1^3$
• $9 — 1 = 8 = 2^3$
• $28 — 1 = 27 = 3^3$
• $65 — 1 = 64 = 4^3$
• $126 — 1 = 125 = 5^3$

Шаг 3. Вывод:

$$a_n = n^3 + 1$$

Каждое число — это куб номера $n$, плюс один.

Ответ:

$$\boxed{a_n = n^3 + 1}$$

Итоговые ответы:

а) $a_n = 3^n$
б) $a_n = (n + 2)^2$
в) $a_n = n^3$
г) $a_n = n^3 + 1$