ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{2}$:

а) по недостатку;

б) по избытку.

Выписать первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{2}$:

а) По недостатку:
$\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$;
$a_1 = 1$;
$a_2 = 1{,}4$;
$a_3 = 1{,}41$;
$a_4 = 1{,}414$;
Ответ: 1; 1,4; 1,41; 1,414.

б) По избытку:
$\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$;
$a_1 = 2$;
$a_2 = 1{,}5$;
$a_3 = 1{,}42$;
$a_4 = 1{,}415$;
Ответ: 2; 1,5; 1,42; 1,415.

Выписать первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{2}$:

• а) по недостатку
• б) по избытку

Что такое десятичное приближение?

Приближение числа — это число, близкое к заданному, но проще по записи.
Десятичное приближение — это приближение в виде конечной десятичной дроби (например: 1,4; 1,41 и т.д.).

Что значит «по недостатку» и «по избытку»?

• По недостатку: приближение всегда меньше самого числа.
• По избытку: приближение всегда больше самого числа.

Напоминание: значение $\sqrt{2}$

Число $\sqrt{2} \approx 1{,}414213562…$ — бесконечная непериодическая десятичная дробь (иррациональное число).

а) По недостатку

Шаг 1. Идея

Нам нужно выбрать такие десятичные дроби, которые:

• Содержат последовательно 1, 2, 3, 4 знака после запятой;
• Всегда меньше, чем $\sqrt{2} \approx 1{,}414213…$.

Шаг 2. Строим приближения

1. $a_1$ — оставляем только целую часть:

   $$a_1 = 1 \quad \text{(так как } 1 < \sqrt{2} < 2)$$

2. $a_2$ — берём два знака (один после запятой):

   $$a_2 = 1{,}4 \quad \text{(так как } 1{,}4 < 1{,}414213…)$$

3. $a_3$ — три знака:

   $$a_3 = 1{,}41 \quad \text{(ещё меньше)}$$

4. $a_4$ — четыре знака:

   $$a_4 = 1{,}414 \quad \text{(всё ещё по недостатку, так как } 1{,}414 < 1{,}414213)$$

Ответ (по недостатку):

$$\boxed{1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414}$$

б) По избытку

Шаг 1. Идея

Теперь нужны приближения, которые:

• Содержат 1, 2, 3, 4 знака;
• Всегда больше, чем $\sqrt{2} \approx 1{,}414213…$.

Шаг 2. Строим приближения

1. $a_1$ — ближайшее целое сверху:

   $$a_1 = 2 \quad \text{(так как } 2 > \sqrt{2})$$

2. $a_2$ — ближайшая десятичная дробь с одной цифрой после запятой:

   $$a_2 = 1{,}5 \quad \text{(1{,}5 > 1{,}414213)}$$

3. $a_3$ — две цифры после запятой:

   $$a_3 = 1{,}42 \quad \text{(1{,}42 > 1{,}414213)}$$

4. $a_4$ — три цифры после запятой:

   $$a_4 = 1{,}415 \quad \text{(1{,}415 > 1{,}414213)}$$

Ответ (по избытку):

$$\boxed{2;\ 1{,}5;\ 1{,}42;\ 1{,}415}$$

Итог:

а) По недостатку:
$\boxed{1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414}$

б) По избытку:
$\boxed{{\displaystyle 2;\mathrm{1,5};\mathrm{1,42};\mathrm{1,415}}}$