ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего её членов равна 29, а второго и четвёртого 11,6.

Пусть $(b_n)$ — данная геометрическая прогрессия, тогда:
$b_2 = b_1 \cdot q;$
$b_3 = b_1 \cdot q^2;$
$b_4 = b_1 \cdot q^3;$

Сумма первого и третьего членов равна 29:
$b_1 + b_1 \cdot q^2 = 29;$
$b_1(1 + q^2) = 29;$
$b_1 = \dfrac{29}{1 + q^2};$

Сумма второго и четвёртого членов равна 11,6:
$b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^3 = 11{,}6;$
$b_1q(1 + q^2) = 11{,}6;$
$b_1 = \dfrac{11{,}6}{q(1 + q^2)};$

Найдём сумму данной прогрессии:
$\dfrac{29}{1 + q^2} = \dfrac{11{,}6}{q(1 + q^2)};$
$29 = \dfrac{11{,}6}{q};$
$q = \dfrac{11{,}6}{29} = \dfrac{116}{29} = \dfrac{2}{5};$
$b_1 = 29 : \left(1 + \left(\dfrac{2}{5}\right)^2\right) = 29 : \left(1 + \dfrac{4}{25}\right) = 29 : \dfrac{29}{25} = 29 \cdot \dfrac{25}{29} = 25;$
$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = 25 : \left(1 — \dfrac{2}{5}\right) = 25 : \dfrac{3}{5} = 25 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{125}{3} = 41\dfrac{2}{3};$

Ответ: $41{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой:

• Сумма первого и третьего членов:

  $$b_1 + b_3 = 29$$

• Сумма второго и четвёртого членов:

  $$b_2 + b_4 = 11{,}6$$

Требуется найти сумму всей бесконечной геометрической прогрессии.

Шаг 1: Обозначим формулы членов геометрической прогрессии

По определению:

• $b_2 = b_1 \cdot q$
• $b_3 = b_1 \cdot q^2$
• $b_4 = b_1 \cdot q^3$

Шаг 2: Перепишем условия с подстановкой

Условие 1:

$$b_1 + b_3 = 29 \Rightarrow b_1 + b_1 \cdot q^2 = 29$$

Вынесем $b_1$ за скобку:

$$b_1(1 + q^2) = 29 \quad \text{(уравнение №1)}$$

Отсюда выразим $b_1$:

$$b_1 = \frac{29}{1 + q^2} \quad \text{(формула A)}$$

Условие 2:

$$b_2 + b_4 = 11{,}6 \Rightarrow b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^3 = 11{,}6$$

Вынесем $b_1 \cdot q$ за скобку:

$$b_1 \cdot q(1 + q^2) = 11{,}6 \quad \text{(уравнение №2)}$$

Выразим $b_1$:

$$b_1 = \frac{11{,}6}{q(1 + q^2)} \quad \text{(формула B)}$$

Шаг 3: Приравниваем выражения для $b_1$

$$\frac{29}{1 + q^2} = \frac{11{,}6}{q(1 + q^2)}$$

Умножим обе части на $(1 + q^2)$:

$$29 = \frac{11{,}6}{q}$$

Теперь найдём $q$:

$$q = \frac{11{,}6}{29}$$

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$q = \frac{116}{290} = \frac{2}{5}$$

Шаг 4: Найдём $b_1$ по формуле A

Подставим $q = \frac{2}{5}$ в:

$$b_1 = \frac{29}{1 + q^2} = \frac{29}{1 + \left(\frac{2}{5}\right)^2} = \frac{29}{1 + \frac{4}{25}} = \frac{29}{\frac{29}{25}} = 29 \cdot \frac{25}{29} = 25$$

Шаг 5: Найдём сумму всей бесконечной прогрессии

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии (при $|q| < 1$):

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

Подставим:

$$S = \frac{25}{1 — \frac{2}{5}} = \frac{25}{\frac{3}{5}} = 25 \cdot \frac{5}{3} = \frac{125}{3} = 41\frac{2}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 41\frac{2}{3}}}$$