ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение, если известно, что |x| < 1.

а)

$$S=x+x^2+x^3+x^4+\cdots +x^n+\cdots =4;$$

б)

$$S=2x-4x^2+8x^3-16x^4+\cdots =\frac{3}{8}$$

Решить уравнение, если известно, что $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$:

а)

$$S=x+x^2+x^3+x^4+\cdots +x^n+\cdots =4;$$

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1=x,b_2=x^2$;

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{x^2}{x}=x;$$$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{x}{1-x};$$

Решение уравнения:

$$\frac{x}{1-x}=4;$$$$x=4(1-x);$$$$x=4-4x;$$$$5x=4;$$$$x=\frac{4}{5}=\mathrm{0,8};$$

Ответ: $\mathrm{0,8}$

б)

$$S=2x-4x^2+8x^3-16x^4+\cdots =\frac{3}{8};$$

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1=2x,b_2=-4x^2$;

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-4x^2}{2x}=-2x;$$$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{2x}{1+2x};$$

Решение уравнения:

$$\frac{2x}{1+2x}=\frac{3}{8};$$$$8\cdot 2x=3(1+2x);$$$$16x=3+6x;$$$$10x=3;$$$$x=\frac{3}{10}=\mathrm{0,3};$$

Ответ: $\mathrm{0,3}$

Условие (а):

Найти $x$, если $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ и

$$S=x+x^2+x^3+x^4+\cdots =4$$

Шаг 1: Узнаем вид прогрессии

Это бесконечная геометрическая прогрессия:

• Первый член: $b_1=x$
• Знаменатель: $q=\frac{x^2}{x}=x$

Условие $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ гарантирует, что сумма существует, потому что $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$.

Шаг 2: Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

$$S=\frac{b_1}{1-q}$$

Подставим $b_1=x$, $q=x$:

$$S=\frac{x}{1-x}$$

Шаг 3: Решим уравнение $\frac{x}{1-x}=4$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1-x)$, чтобы избавиться от дроби:

$$x=4(1-x)$$

Раскроем скобки:

$$x=4-4x$$

Переносим все члены с $x$ в одну сторону:

$$x+4x=4\Rightarrow 5x=4\Rightarrow x=\frac{4}{5}$$

Шаг 4: Проверим условие $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mid \frac{4}{5}\mid =0.8<1\text{Условие выполнено}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}}}$$

Условие (б):

Найти $x$, если $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ и

$$S=2x-4x^2+8x^3-16x^4+\cdots =\frac{3}{8}$$

Шаг 1: Узнаем вид прогрессии

Это бесконечная геометрическая прогрессия с переменными членами.

• Первый член: $b_1=2x$
• Второй член: $b_2=-4x^2$

Найдём знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-4x^2}{2x}=-2x$$

Шаг 2: Формула суммы геометрической прогрессии

$$S=\frac{b_1}{1-q}$$

Подставим значения:

$$S=\frac{2x}{1-(-2x)}=\frac{2x}{1+2x}$$

Шаг 3: Решим уравнение $\frac{2x}{1+2x}=\frac{3}{8}$

Умножим обе части уравнения на $(1+2x)\cdot 8$, чтобы избавиться от дробей:

$$8\cdot 2x=3(1+2x)\Rightarrow 16x=3+6x$$

Переносим всё с $x$ в одну сторону:

$$16x-6x=3\Rightarrow 10x=3\Rightarrow x=\frac{3}{10}$$

Шаг 4: Проверим условие $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mid \frac{3}{10}\mid =0.3<1\text{Условие выполнено}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{3}{10}=\mathrm{0,3}}}$$