ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) 0,(15);

б) 0,1(2);

в) 0,(18);

г) 0,2(34).

Представить в виде обыкновенной дроби:

а) $0,(15)$

$$S = 0,(15) = 0{,}151515\ldots = 0{,}15 + 0{,}0015 + 0{,}000015 + \cdots$$

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 0{,}15,\ b_2 = 0{,}0015$

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}0015}{0{,}15} = 0{,}01$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0{,}15}{1 — 0{,}01} = \frac{0{,}15}{0{,}99} = \frac{15}{99} = \frac{5}{33}$$

Ответ: $\frac{5}{33}$

б) $0{,}1(2)$

$$S = 0{,}1(2) = 0{,}122222\ldots = 0{,}1 + 0{,}02 + 0{,}002 + 0{,}0002 + \cdots$$

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 0{,}02,\ b_2 = 0{,}002$

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}002}{0{,}02} = 0{,}1$$ $$S = 0{,}1 + \frac{b_1}{1 — q} = \frac{1}{10} + \frac{0{,}02}{1 — 0{,}1} = \frac{1}{10} + \frac{0{,}02}{0{,}9} = \frac{9}{90} + \frac{2}{90} = \frac{11}{90}$$

Ответ: $\frac{11}{90}$

в) $0,(18)$

$$S = 0,(18) = 0{,}181818\ldots = 0{,}18 + 0{,}0018 + 0{,}000018 + \cdots$$

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 0{,}18,\ b_2 = 0{,}0018$

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}0018}{0{,}18} = 0{,}01$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0{,}18}{1 — 0{,}01} = \frac{0{,}18}{0{,}99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}$$

Ответ: $\frac{2}{11}$

г) $0{,}2(34)$

$$S = 0{,}2(34) = 0{,}234343\ldots = 0{,}2 + 0{,}034 + 0{,}00034 + \cdots$$

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 0{,}034,\ b_2 = 0{,}00034$

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}00034}{0{,}034} = 0{,}01$$ $$S = 0{,}2 + \frac{b_1}{1 — q} = \frac{2}{10} + \frac{0{,}034}{1 — 0{,}01} = \frac{1}{5} + \frac{0{,}034}{0{,}99} = \frac{99}{495} + \frac{17}{495} = \frac{116}{495}$$

Ответ: $\frac{116}{495}$

а) $S = 0,\overline{15}$

Это периодическая десятичная дробь:

$$S = 0{,}151515\ldots$$

Можно записать как бесконечную сумму:

$$S = 0{,}15 + 0{,}0015 + 0{,}000015 + \cdots$$

Эта сумма — бесконечная геометрическая прогрессия, где:

• первый член:

  $$b_1 = 0{,}15$$

• второй член:

  $$b_2 = 0{,}0015$$

• знаменатель прогрессии:

  $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0{,}0015}{0{,}15} = 0{,}01$$

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

Подставим:

$$S = \frac{0{,}15}{1 — 0{,}01} = \frac{0{,}15}{0{,}99}$$

Домножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от запятой:

$$\frac{0{,}15}{0{,}99} = \frac{15}{99} = \frac{5}{33}$$

Ответ: $\boxed{\frac{5}{33}}$

б) $S = 0{,}1\overline{2}$

Это дробь с непериодической частью и повторяющейся частью:

• $S = 0{,}122222\ldots = 0{,}1 + 0{,}02 + 0{,}002 + 0{,}0002 + \cdots$

Разобьём на два слагаемых:

1. Постоянная часть: $0{,}1 = \frac{1}{10}$
2. Остальное — бесконечная геометрическая прогрессия:

   $$0{,}02 + 0{,}002 + 0{,}0002 + \cdots$$

Здесь:

• $b_1 = 0{,}02$,
• $q = \frac{0{,}002}{0{,}02} = 0{,}1$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S_{\text{geom}} = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0{,}02}{1 — 0{,}1} = \frac{0{,}02}{0{,}9}$$

Упростим:

$$\frac{0{,}02}{0{,}9} = \frac{2}{100} \div \frac{9}{10} = \frac{2}{100} \cdot \frac{10}{9} = \frac{20}{900} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$$

Итак:

$$S = \frac{1}{10} + \frac{1}{45}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{10} = \frac{9}{90},\quad \frac{1}{45} = \frac{2}{90}$$ $$S = \frac{9 + 2}{90} = \frac{11}{90}$$

Ответ: $\boxed{\frac{11}{90}}$

в) $S = 0,\overline{18}$

Запишем как бесконечную сумму:

$$S = 0{,}18 + 0{,}0018 + 0{,}000018 + \cdots$$

Это геометрическая прогрессия:

• $b_1 = 0{,}18$,
• $q = \frac{0{,}0018}{0{,}18} = 0{,}01$

Сумма:

$$S = \frac{0{,}18}{1 — 0{,}01} = \frac{0{,}18}{0{,}99}$$

Упростим:

$$\frac{0{,}18}{0{,}99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2}{11}}$

г) $S = 0{,}2\overline{34}$

Разложим:

$$S = 0{,}234343\ldots = 0{,}2 + 0{,}034 + 0{,}00034 + \cdots$$

• $b_1 = 0{,}034$,
• $q = \frac{0{,}00034}{0{,}034} = 0{,}01$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S_{\text{geom}} = \frac{0{,}034}{1 — 0{,}01} = \frac{0{,}034}{0{,}99}$$

Разложим всё:

$$S = 0{,}2 + \frac{0{,}034}{0{,}99}$$ $$0{,}2 = \frac{1}{5}$$

А для дроби:

$$\frac{0{,}034}{0{,}99} = \frac{34}{1000} \div \frac{99}{100} = \frac{34}{1000} \cdot \frac{100}{99} = \frac{3400}{99000} = \frac{17}{495}$$

Теперь:

$$S = \frac{1}{5} + \frac{17}{495}$$

Приведём к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель — 495):

$$\frac{1}{5} = \frac{99}{495}$$ $$S = \frac{99 + 17}{495} = \frac{116}{495}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{116}{495}}}$