ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сумму геометрической прогрессии:

а) 32; 16; 8; 4; 2; …;

б) 24; $-8; \dfrac{8}{3}; -\dfrac{8}{9}; …;$

в) 27; 9; 3; 1; $\dfrac{1}{3}; …;$

г) 18; $-6;2;-{\displaystyle \frac{2}{3}};\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

Найти сумму геометрической прогрессии:

а) 32; 16; 8; 4; 2; …;
$b_1 = 32,\ b_2 = 16;$

$$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2};$$ $$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = 32 : \left(1 — \dfrac{1}{2}\right) = 32 : \dfrac{1}{2} = 32 \cdot 2 = 64;$$

Ответ: 64.

б) 24; $-8; \dfrac{8}{3}; -\dfrac{8}{9}; …;$
$b_1 = 24,\ b_2 = -8;$

$$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-8}{24} = -\dfrac{1}{3};$$ $$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = 24 : \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) = 24 : \dfrac{4}{3} = 24 \cdot \dfrac{3}{4} = 18;$$

Ответ: 18.

в) 27; 9; 3; 1; $\dfrac{1}{3}; …;$
$b_1 = 27,\ b_2 = 9;$

$$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3};$$ $$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = 27 : \left(1 — \dfrac{1}{3}\right) = 27 : \dfrac{2}{3} = 27 \cdot \dfrac{3}{2} = 40{,}5;$$

Ответ: 40,5.

г) 18; $-6; 2; -\dfrac{2}{3}; …;$
$b_1 = 18,\ b_2 = -6;$

$$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-6}{18} = -\dfrac{1}{3};$$ $$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = 18 : \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) = 18 : \dfrac{4}{3} = 18 \cdot \dfrac{3}{4} = 13{,}5;$$

Ответ: 13,5.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}, \quad \text{если } |q| < 1$$

а) Последовательность: 32; 16; 8; 4; 2; …

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 32$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = 16$$

Шаг 3. Находим знаменатель прогрессии $q$:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4. Проверяем условие сходимости:

$$|q| = \left|\frac{1}{2}\right| = 0{,}5 < 1 \quad \Rightarrow \text{сумма существует}$$

Шаг 5. Подставим в формулу суммы:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{32}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{32}{\frac{1}{2}} = 32 \cdot 2 = 64$$

Ответ: 64

б) Последовательность: 24; $-8$; $\dfrac{8}{3}$; $-\dfrac{8}{9}$; …

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 24$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = -8$$

Шаг 3. Находим знаменатель:

$$q = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$$

Шаг 4. Проверяем условие:

$$|q| = \left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} < 1 \quad \Rightarrow \text{сумма существует}$$

Шаг 5. Подставим в формулу:

$$S = \frac{24}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{24}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{24}{\frac{4}{3}} = 24 \cdot \frac{3}{4}$$ $$S = \frac{72}{4} = 18$$

Ответ: 18

в) Последовательность: 27; 9; 3; 1; $\dfrac{1}{3}$; …

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 27$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = 9$$

Шаг 3. Знаменатель:

$$q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$

Шаг 4. Проверка:

$$|q| = \frac{1}{3} < 1 \quad \Rightarrow \text{сумма существует}$$

Шаг 5. Формула:

$$S = \frac{27}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2}$$ $$S = \frac{81}{2} = 40{,}5$$

Ответ: 40,5

г) Последовательность: 18; $-6$; 2; $-\dfrac{2}{3}$; …

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 18$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = -6$$

Шаг 3. Знаменатель:

$$q = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$$

Шаг 4. Проверка:

$$|q| = \frac{1}{3} < 1$$

Шаг 5. Формула:

$$S = \frac{18}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{18}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{4}$$ $$S = \frac{54}{4} = 13{,}5$$

Ответ: 13,5