ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $S = -6 + \dfrac{2}{3} — \dfrac{2}{27} + \dfrac{2}{243} — \cdots$;

б) $S = 3 + \sqrt{3} + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots$;

в) $S = 49 — 14 + 4 — \dfrac{8}{7} + \cdots$;

г) $S = 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \cdots$

Вычислить значение:

а) $S = -6 + \dfrac{2}{3} — \dfrac{2}{27} + \dfrac{2}{243} — \cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = -6,\; b_2 = \dfrac{2}{3}$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{3} : (-6) = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = -6 : \left(1 + \frac{1}{9}\right) = -6 : \frac{10}{9} = -6 \cdot \frac{9}{10} = -5{,}4;$$

Ответ: $-5{,}4$.

б) $S = 3 + \sqrt{3} + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 3,\; b_2 = \sqrt{3}$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 3 : \left(1 — \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 3 : \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} — 1};$$ $$S = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 \cdot 3 + 3\sqrt{3}}{3 — 1} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $\dfrac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$.

в) $S = 49 — 14 + 4 — \dfrac{8}{7} + \cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 49,\; b_2 = -14$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{14}{49} = -\frac{2}{7};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 49 : \left(1 + \frac{2}{7}\right) = 49 : \frac{9}{7} = 49 \cdot \frac{7}{9} = \frac{343}{9} = 38\frac{1}{9};$$

Ответ: $38\frac{1}{9}$.

г) $S = 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 4,\; b_2 = 2\sqrt{2}$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 4 : \left(1 — \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 4 : \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1};$$ $$S = \frac{4\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4 \cdot 2 + 4\sqrt{2}}{2 — 1} = 8 + 4\sqrt{2};$$

Ответ: $8 + 4\sqrt{2}$.

Формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}, \quad \text{где } |q| < 1$$

а) $S = -6 + \frac{2}{3} — \frac{2}{27} + \frac{2}{243} — \cdots$

Шаг 1. Первый член прогрессии:

$$b_1 = -6$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = \frac{2}{3}$$

Шаг 3. Знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{3} \div (-6) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$$

Шаг 4. Проверка условия:

$$|q| = \frac{1}{9} < 1 \quad \Rightarrow \text{прогрессия сходится}$$

Шаг 5. Подставляем в формулу:

$$S = \frac{-6}{1 — (-\frac{1}{9})} = \frac{-6}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{-6}{\frac{10}{9}} = -6 \cdot \frac{9}{10} = -\frac{54}{10} = -5{,}4$$

Ответ: $-5{,}4$

б) $S = 3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots$

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 3$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = \sqrt{3}$$

Шаг 3. Знаменатель:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 4. Проверка условия:

$$|q| = \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right| \approx 0{,}577 < 1 \quad \Rightarrow \text{сходится}$$

Шаг 5. Подставляем в формулу:

$$S = \frac{3}{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} — 1}$$

Шаг 6. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое:

$$= 3 \cdot \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)} = 3 \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 — 1} = 3 \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\dfrac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$

в) $S = 49 — 14 + 4 — \frac{8}{7} + \cdots$

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 49$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = -14$$

Шаг 3. Знаменатель:

$$q = \frac{-14}{49} = -\frac{2}{7}$$

Шаг 4. Проверка:

$$|q| = \frac{2}{7} < 1 \quad \Rightarrow \text{сходится}$$

Шаг 5. Вычисляем сумму:

$$S = \frac{49}{1 — (-\frac{2}{7})} = \frac{49}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{49}{\frac{9}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{9} = \frac{343}{9}$$

Шаг 6. Преобразуем в смешанное число:

$$\frac{343}{9} = 38 \frac{1}{9}$$

Ответ: $38 \dfrac{1}{9}$

г) $S = 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \cdots$

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 4$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = 2\sqrt{2}$$

Шаг 3. Знаменатель:

$$q = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 4. Проверка:

$$|q| = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right| \approx 0{,}707 < 1$$

Шаг 5. Подставим в формулу:

$$S = \frac{4}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1}$$

Шаг 6. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное:

$$= 4 \cdot \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)} = 4 \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{1} = 8 + 4\sqrt{2}$$

Ответ: $8+4\sqrt{2}$