ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 19—22, имеет предел при $x\to \pm \mathrm{\infty }$?

Выяснить, имеют ли функции, графики которых изображены на рисунках 19 – 22, предел при $x\to \pm \mathrm{\infty }$:

а) Рисунок 19;
Функция не имеет предела при $x\to \pm \mathrm{\infty }$;

б) Рисунок 20;
Функция имеет предел при $x\to +\mathrm{\infty }$:
${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=2,4;$

в) Рисунок 21;
Функция имеет предел при $x\to -\mathrm{\infty }$:
${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=0;$

г) Рисунок 22;
Функция имеет предел при $x\to \mathrm{\infty }$:
${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)=0$

а) Рисунок 19

Вывод:
Функция не имеет предела при $x\to \pm \mathrm{\infty }$

Подробное объяснение:

• Пусть на рисунке 19 изображён график функции, поведение которой не стабилизируется, а наоборот — может колебаться или возрастать/убывать неограниченно.
• В этом случае, при $x\to +\mathrm{\infty }$ и $x\to -\mathrm{\infty }$, значение $f(x)$ не стремится к какому-либо одному числу.
• Примеры: $f(x)=\sin x$, $f(x)=\tan x$, $f(x)=x\cdot \sin x$

Заключение: Так как график не приближается к горизонтальной прямой или какому-либо значению, предел не существует.

б) Рисунок 20

Вывод:
Функция имеет предел при $x\to +\mathrm{\infty }$:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{2,4}$$

Подробное объяснение:

• По графику видно, что при $x\to +\mathrm{\infty }$ значения $f(x)$ приближаются к числу 2,4.
• График «зажат» вблизи горизонтальной прямой $y=\mathrm{2,4}$, и чем больше $x$, тем ближе значения функции к этому числу.
• Это означает, что при любом $\epsilon >0$, можно найти $M$, при котором $\mathrm{\mid }f(x)-\mathrm{2,4}\mathrm{\mid }<\epsilon$, как только $x>M$.

Заключение: Предел существует, он равен 2,4.

в) Рисунок 21

Вывод:
Функция имеет предел при $x\to -\mathrm{\infty }$:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$$

Подробное объяснение:

• Из графика видно, что по мере уменьшения $x$, то есть при $x\to -\mathrm{\infty }$, значения $f(x)$ стремятся к нулю.
• Это означает, что график становится всё ближе к прямой $y=0$ (ось абсцисс), но не обязательно пересекает её.
• Примеры таких функций: $f(x)=\frac{1}{x^2}$, $f(x)=\frac{1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$, $f(x)=e^x$

Заключение: Предел при $x\to -\mathrm{\infty }$ существует и равен 0.

г) Рисунок 22

Вывод:
Функция имеет предел при $x\to \mathrm{\infty }$:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$$

Подробное объяснение:

• По графику видно, что при больших $x$, значение $f(x)$ становится всё ближе к нулю, то есть стремится к 0.
• Это значит, что график асимптотически приближается к оси абсцисс.
• Например, функция может быть $f(x)=\frac{1}{x}$, $f(x)=e^{-x}$ и др.

Заключение: Предел существует, равен нулю.

Итоговый ответ:

а) Предела при $x\to \pm \mathrm{\infty }$ нет.

б) ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=\mathrm{2,4}$

в) ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=0$

г) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)=0$