ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 23—30, имеет предел при х → 3? Чему равен этот предел?

Выяснить, имеют ли функции, графики которых изображены на рисунках 23 – 30, предел при $x\to 3$ и чему равен этот предел:

Рисунок 23;
Слева и справа от точки $x=3$ функция стремится к трем:

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=3;$$

Рисунок 24;
Слева и справа от точки $x=3$ функция стремится к четырем:

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=4;$$

Рисунок 25;
Слева и справа от точки $x=3$ функция стремится к четырем:

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=4;$$

Рисунок 26;
Слева от точки $x=3$ функция стремится к трем, а справа – к четырем:

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)-\text{не существует};$$

Рисунок 27;
Слева и справа от точки $x=3$ функция стремится к бесконечности:

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)-\text{не существует};$$

Рисунок 28;
Справа от точки $x=3$ функция стремится к бесконечности:

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)-\text{не существует};$$

Рисунок 29;
Слева от точки $x=3$ функция стремится к пяти, а справа – к трем:

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)-\text{не существует};$$

Рисунок 30;
Слева и справа от точки $x=3$ функция стремится к нулю:

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=0$$

Предел ${\lim }_{x\to a}f(x)$ существует только в том случае, если выполняются два условия:

Существуют левый и правый пределы, то есть:

• ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$
• ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$

Левый и правый пределы равны между собой:

$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L$$

Тогда:

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

Важно: Значение функции в точке $x=a$, т.е. $f(a)$, не влияет на существование предела.

Задача: определить существование и значение предела ${\lim }_{x\to 3}f(x)$

Мы будем подробно рассматривать каждый из графиков (представим, что графики даны визуально, как это в учебниках), анализируя поведение функции слева и справа от точки $x=3$.

1) Рисунок 23

Анализ:

• При приближении к $x=3$ слева: график стремится к значению 3.
• При приближении к $x=3$ справа: график также стремится к значению 3.

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=3,\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=3\Rightarrow \underset{x\to 3}{\lim }f(x)=3$$

2) Рисунок 24

Анализ:

• Слева от $x=3$: график приближается к 4.
• Справа от $x=3$: также стремится к 4.

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=4,\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=4\Rightarrow \underset{x\to 3}{\lim }f(x)=4$$

3) Рисунок 25

Анализ:

• Слева от 3 — значение стремится к 4.
• Справа от 3 — тоже к 4.

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=4$$

4) Рисунок 26

Анализ:

• Слева от 3: функция стремится к 3.
• Справа от 3: функция стремится к 4.

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=3,\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=4\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)\text{ не существует (левый и правый пределы различны)}$$

5) Рисунок 27

Анализ:

• При приближении с обеих сторон функция стремится к бесконечности (например, график гиперболы с вертикальной асимптотой в точке $x=3$).

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty },\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)\text{ не существует в обычном смысле (предел → ∞)}$$

6) Рисунок 28

Анализ:

• Слева от $x=3$: поведение не указано явно (или остается ограниченным).
• Справа от $x=3$: функция стремится к бесконечности.

$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)\text{ не существует (хотя бы один из односторонних пределов не конечен)}$$

7) Рисунок 29

Анализ:

• Слева от $x=3$: $f(x)\to 5$
• Справа от $x=3$: $f(x)\to 3$

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=5,\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=3\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)\text{ не существует (разные односторонние пределы)}$$

8) Рисунок 30

Анализ:

• Слева от $x=3$: функция стремится к 0.
• Справа от $x=3$: функция также стремится к 0.

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=0$$