ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На рисунке 31 изображён график функции y = f(x). Найдите:

а) ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)$

б) ${\lim }_{x\to 0}f(x)$

в) ${\lim }_{x\to 3}f(x)$

г) ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)$

На рисунке 31 изображен график функции $y=f(x)$, найти:

а) ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=0$;
График имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ на луче $(-\mathrm{\infty };0]$;

б) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=4$;
Слева и справа от точки $x=0$ функция стремится к четырем;

в) ${\lim }_{x\to 3}f(x)=9$;
Слева и справа от точки $x=3$ функция стремится к девяти;

г) ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=4$;
График имеет горизонтальную асимптоту $y=4$ на луче $[0;+\mathrm{\infty })$

На рисунке 31 изображен график функции $y=f(x)$. Нужно найти значения пределов функции в четырех разных ситуациях.

Теория для каждого типа предела:

Предел существует, если:

• значения $f(x)$ приближаются к одному числу при подходе к заданному $x$,
• или к горизонтальной асимптоте при $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

а) ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=0$

Что это означает?

Мы хотим узнать, к чему приближается график функции, когда $x$ уходит в минус бесконечность, то есть очень далеко влево.

По условию:

График имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ на луче $(-\mathrm{\infty };0]$

Это значит:

• Чем дальше мы идём по графику влево (к $-\mathrm{\infty }$),
• Тем ближе значения $f(x)$ к нулю.

Интерпретация на графике:

• График «выравнивается» и «подползает» к прямой $y=0$ слева.
• Он может колебаться, но постепенно успокаивается около этой прямой.

Ответ:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$$

б) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=4$

Что означает предел в точке?

Нужно определить, к чему стремится функция при $x\to 0$ — как слева, так и справа.

По условию:

Слева и справа от точки $x=0$ функция стремится к четырем.

Это значит:

• Если $x\to 0^{-}$, то $f(x)\to 4$;
• Если $x\to 0^{+}$, то $f(x)\to 4$.

Поскольку оба односторонних предела совпадают, существует предел в точке:

Ответ:

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=4$$

в) ${\lim }_{x\to 3}f(x)=9$

Повторим принцип:

Если значения функции с обеих сторон от $x=3$ стремятся к одному числу, то предел существует.

По условию:

Слева и справа от точки $x=3$ функция стремится к девяти.

То есть:

• ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=9$
• ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=9$

Ответ:

$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=9$$

г) ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=4$

Что происходит при $x\to +\mathrm{\infty }$?

Мы рассматриваем поведение функции при движении далеко вправо по оси $x$.

По условию:

График имеет горизонтальную асимптоту $y=4$ на луче $[0;+\mathrm{\infty })$

Это значит:

• При увеличении $x$, значения $f(x)$ приближаются к 4.

График «приближается» к прямой $y=4$ справа, возможно, с колебаниями или спадом.

Ответ:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=4$$