ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции y = f(x), обладающей заданными свойствами:

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $f(2) = 3$;

б) $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$;

в) $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$ и $f(-1)$ не существует;

г) $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ и ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=-5$

Построить эскиз графика какой-нибудь функции $y = f(x)$, обладающей указанными свойствами:

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $f(2) = 3$;

б) $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$;

в) $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$ и $f(-1)$ не существует;

г) $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ и ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=-5$

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -5$

Чтобы понять, как должен выглядеть график, нужно различать два понятия:

Предел $\lim_{x \to a} f(x) = L$

Это значит:

Когда $x$ приближается к $a$ (слева и справа), значения функции $f(x)$ стремятся к $L$, независимо от того, существует ли сама точка $f(a)$.

Значение функции $f(a)$

Это просто точка на графике в координатах $(a, f(a))$, если она определена.

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $f(2) = 3$

Что это значит:

• График плавно приближается к точке $(2, 3)$ с обеих сторон.
• Функция определена в точке $x = 2$, и значение функции совпадает с пределом.

Это случай непрерывности в точке $x = 2$.

Как выглядит график:

• Обычная гладкая линия (например, отрезок прямой), без разрывов.
• В точке $x = 2$ график проходит через точку $(2, 3)$ без скачков.

Как построить:

1. Нарисуйте оси координат.
2. Отметьте точку $(2, 3)$.
3. Проведите плавную линию, подходящую к этой точке слева и справа (например, прямую $y = x + 1$ возле 2).
4. Подчеркните, что в самой точке график есть, без «дырки».

б) $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$

Что это значит:

• При $x \to -6$, график подходит к значению $y = 4$.
• При $x \to -\infty$, график стремится к 0, т.е. приближается к горизонтальной асимптоте $y = 0$.

Как выглядит график:

• Слева далеко (очень большие отрицательные $x$) график почти «лежит» на $y = 0$.
• Приближаясь к $x = -6$, график плавно поднимается к $y = 4$.
• Точка $f(-6)$ может существовать или не существовать — не важно для предела.

Как построить:

1. Проведите горизонтальную пунктирную линию $y = 0$ — асимптота.
2. Нарисуйте график, начинающийся далеко слева чуть выше нуля.
3. Пусть кривая плавно поднимается вверх к точке $x = -6$, приближаясь к значению $y = 4$.
4. Можно поставить точку в $(-6, 4)$, если хотите, или оставить «дырку».

в) $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$ и $f(-1)$ не существует

Что это значит:

• При приближении к $x = -1$ с обеих сторон, график стремится к $y = 4$.
• Но в самой точке $x = -1$ нет значения функции — то есть, либо «дырка», либо вообще не определено.

Как выглядит график:

• Слева и справа от $x = -1$ график тянется к уровню $y = 4$.
• В самой точке — «пробел», т.е. функция не имеет значения.

Как построить:

1. Нарисуйте оси координат.
2. Отметьте точку $x = -1$.
3. Проведите кривую, подходящую к уровню $y = 4$ слева и справа от $x = -1$.
4. В самой точке $x = -1$ нарисуйте дырку (пустой кружок) на уровне $y = 4$ или ничего не ставьте.

г) $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ и $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -5$

Что это значит:

• При $x \to 3$: график плавно подходит к $y = -1$ с обеих сторон.
• При $x \to +\infty$: график приближается к горизонтальной асимптоте $y = -5$.

Как выглядит график:

• Вблизи $x = 3$: плавное приближение к значению $-1$.
• Далеко справа (большие $x$) — график становится почти горизонтальным и идёт вдоль $y = -5$.

Как построить:

1. Проведите горизонтальную пунктирную линию $y = -5$.
2. Нарисуйте кривую, которая вблизи $x = 3$ идёт к значению $-1$.
3. Затем график постепенно уходит вниз к асимптоте $y = -5$, как бы «сползая».
4. В точке $x = 3$ можно поставить точку $(3, -1)$ или оставить дырку — условие не требует, чтобы $f(3)$ было определено.