ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}$$

б)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos 5x-\cos 3x}{\sin 5x+\sin 3x}$$

Вычислить значение:

а)

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2}}{2 \cos \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{\cos 2x} =$$ $$= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tg\, 2x) = \tg\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \tg\, \pi = 0;$$

Ответ: 0.

б)

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x — \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin \frac{5x + 3x}{2} \cdot \sin \frac{5x — 3x}{2}}{2 \sin \frac{5x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{5x — 3x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\cos x} =$$ $$= \lim_{x \to 0} (-\tg\, x) = -\tg\, 0 = 0;$$

Ответ: 0.

Чтобы решить пределы с тригонометрическими выражениями, полезны следующие формулы суммы и разности:

Формулы суммы:

• $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$
• $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$
• $\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$
• $\sin A + \sin B = \ldots$, $\sin A — \sin B = \ldots$ и т. д.

а)

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}$$

Шаг 1: Распознаём суммы синусов и косинусов

В числителе:

$$\sin 3x + \sin x = 2 \sin\left(\frac{3x + x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x — x}{2}\right) = 2 \sin(2x) \cos(x)$$

В знаменателе:

$$\cos 3x + \cos x = 2 \cos\left(\frac{3x + x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x — x}{2}\right) = 2 \cos(2x) \cos(x)$$

Шаг 2: Подставляем обратно

$$\frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \frac{2 \sin(2x) \cos(x)}{2 \cos(2x) \cos(x)}$$

Сократим $2 \cos(x)$ (при $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $\cos(x) \ne 0$):

$$= \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \tg(2x)$$

Шаг 3: Вычислим предел

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tg(2x) = \tg\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \tg(\pi) = 0$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = 0$$

Ответ: 0

б)

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x — \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x}$$

Шаг 1: Распознаём разность косинусов

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим:

$$\cos 5x — \cos 3x = -2 \sin\left(\frac{5x + 3x}{2}\right) \sin\left(\frac{5x — 3x}{2}\right) = -2 \sin(4x) \sin(x)$$

Теперь числитель:

$$= -2 \sin(4x) \sin(x)$$

Знаменатель:

$$\sin 5x + \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{5x + 3x}{2}\right) \cos\left(\frac{5x — 3x}{2}\right) = 2 \sin(4x) \cos(x)$$

Шаг 2: Подставим обратно

$$\frac{\cos 5x — \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x} = \frac{-2 \sin(4x) \sin(x)}{2 \sin(4x) \cos(x)}$$

Сокращаем $2 \sin(4x)$ (при $x \ne 0$, чтобы не делить на ноль):

$$= \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tg(x)$$

Шаг 3: Вычислим предел

$$\lim_{x \to 0} (-\tg(x)) = -\tg(0) = 0$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x — \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x} = 0$$

Ответ: 0