ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}$$

б)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x}$$

Вычислить значение:

а)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cdot \frac{1-\cos x}{2}}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 — \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{1 — \cos x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin \frac{7x-3x}{2}\cdot \cos \frac{7x+3x}{2}}{2\sin \frac{8x-2x}{2}\cdot \cos \frac{8x+2x}{2}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x\cdot \cos 5x}{\sin 3x\cdot \cos 5x}=$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x — \sin 3x}{\sin 8x — \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin \frac{7x — 3x}{2} \cdot \cos \frac{7x + 3x}{2}}{2 \sin \frac{8x — 2x}{2} \cdot \cos \frac{8x + 2x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \cdot \cos 5x}{\sin 3x \cdot \cos 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \right) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{3};$$

Ответ: $\frac{2}{3}$

а)

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 — \cos x}{x^2}$$

Шаг 1: Знакомая формула

Это один из классических тригонометрических пределов. Напомним формулу:

$$1 — \cos x = 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$\frac{1 — \cos x}{x^2} = \frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{x^2}$$

Шаг 3: Представим $x^2$ через $\left( \frac{x}{2} \right)^2$

$$x^2 = 4 \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^2$$ $$\Rightarrow \frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{4 \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}} \right)^2$$

Шаг 4: Переход к пределу

Известен стандартный предел:

$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$$

Пусть $t = \frac{x}{2}$, тогда при $x \to 0$, $t \to 0$

$$\Rightarrow \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 = 1^2 = 1$$

Финальный ответ:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 — \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \boxed{\frac{1}{2}}$$

б)

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x — \sin 3x}{\sin 8x — \sin 2x}$$

Шаг 1: Применим формулу разности синусов

Формула:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Числитель:

$$\sin 7x — \sin 3x = 2 \sin \left( \frac{7x — 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{7x + 3x}{2} \right) = 2 \sin (2x) \cdot \cos (5x)$$

Знаменатель:

$$\sin 8x — \sin 2x = 2 \sin \left( \frac{8x — 2x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{8x + 2x}{2} \right) = 2 \sin (3x) \cdot \cos (5x)$$

Шаг 2: Подставим обратно

$$\frac{2 \sin 2x \cdot \cos 5x}{2 \sin 3x \cdot \cos 5x}$$

Сокращаем $2$ и $\cos 5x$ (для $x \to 0$, $\cos 5x \to 1$):

$$= \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$$

Шаг 3: Представим через стандартные пределы

Известно:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1 \Rightarrow \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}, \quad \text{при } x \to 0$$

Используем:

$$\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2x}{3x} \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x}$$ $$= \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{3}$$

Финальный ответ:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x}=\boxed{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$