ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции y = f(x), обладающей указанным свойством:

а) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 5$;

б) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = -2$;

в) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = -5$;

г) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.

Построить эскиз графика какой-нибудь функции $y = f(x)$, обладающей указанным свойством:

а) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 5$;

б) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = -2$;

в) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = -5$;

г) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.

Построить эскиз графика какой-нибудь функции $y = f(x)$, обладающей указанным свойством:

а) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 5$

1. Что означает это условие?

Это значит, что при больших значениях $x$ (то есть когда $x \to +\infty$), значения функции $f(x)$ становятся всё ближе к числу 5, но не обязательно равны ему.

2. Пример функции:

$$f(x) = \frac{5x + 1}{x + 1}$$

3. Почему подходит:

Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$$f(x) = \frac{5 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \to \frac{5}{1} = 5 \quad \text{при } x \to \infty$$

4. Как построить график:

• Отметь горизонтальную асимптоту $y = 5$ — пунктирной линией.
• Построй несколько точек функции:
  • $f(0) = \frac{1}{1} = 1$
  • $f(1) = \frac{6}{2} = 3$
  • $f(5) = \frac{26}{6} \approx 4.33$
  • $f(10) = \frac{51}{11} \approx 4.64$
  • $f(100) \approx 4.95$
• График сначала ниже уровня 5, затем медленно поднимается и приближается к 5, не пересекая асимптоту.

б) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = -2$

1. Что означает это условие?

Функция приближается к значению –2, когда $x \to +\infty$.

2. Пример функции:

$$f(x) = \frac{-2x + 3}{x + 1}$$

3. Проверка предела:

$$f(x) = \frac{-2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \to \frac{-2}{1} = -2 \quad \text{при } x \to \infty$$

4. Как построить график:

• Построй асимптоту $y = -2$.
• Точки:
  • $f(0) = \frac{3}{1} = 3$
  • $f(1) = \frac{-2 + 3}{2} = 0.5$
  • $f(5) = \frac{-7}{6} \approx -1.17$
  • $f(10) = \frac{-17}{11} \approx -1.55$
• График спускается и приближается к –2, оставаясь выше.

в) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = -5$

1. Значение:

Значения $f(x)$ приближаются к –5 при больших $x$.

2. Пример:

$$f(x) = \frac{-5x + 2}{x + 1}$$

3. Проверка:

$$f(x) = \frac{-5 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \to -5 \quad \text{при } x \to \infty$$

4. Построение:

• Асимптота: $y = -5$
• Точки:
  • $f(0) = \frac{2}{1} = 2$
  • $f(1) = \frac{-3}{2} = -1.5$
  • $f(5) = \frac{-23}{6} \approx -3.83$
  • $f(10) \approx -4.36$
• График убывает к –5

г) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

1. Значение:

Функция стремится к нулю при $x \to +\infty$

2. Пример:

$$f(x) = \frac{1}{x}$$

3. Проверка:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

4. Построение:

• Асимптота: $y = 0$
• Точки:
  • $f(1) = 1$
  • $f(5) = 0.2$
  • $f(10) = 0.1$
  • $f(100) = 0.01$
• График идёт сверху вниз, приближаясь к оси $x$, но не пересекает её.