ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите приращение функции $y = \sqrt{x}$ при переходе от точки $x_0 = 1$ к точке $x_1=x_0+\mathrm{\Delta }x$, если:

а) $\Delta x = 0{,}44$;

б) $\Delta x = -0{,}19$;

в) $\Delta x = 0{,}21$;

г) $\Delta x = 0{,}1025$

Найти приращение функции $y = \sqrt{x}$ при переходе от точки $x_0 = 1$ к точке $x_1 = x_0 + \Delta x$, если:

а) $\Delta x = 0{,}44$;
$\Delta y = y(x_0 + \Delta x) — y(x_0) = y(1 + 0{,}44) — y(1) = y(1{,}44) — y(1)$;
$\Delta y = \sqrt{1{,}44} — \sqrt{1} = \sqrt{\frac{144}{100}} — 1 = \frac{12}{10} — 1 = 1{,}2 — 1 = 0{,}2$;
Ответ: $0{,}2$.

б) $\Delta x = -0{,}19$;
$\Delta y = y(x_0 + \Delta x) — y(x_0) = y(1 — 0{,}19) — y(1) = y(0{,}81) — y(1)$;
$\Delta y = \sqrt{0{,}81} — \sqrt{1} = \sqrt{\frac{81}{100}} — 1 = \frac{9}{10} — 1 = 0{,}9 — 1 = -0{,}1$;
Ответ: $-0{,}1$.

в) $\Delta x = 0{,}21$;
$\Delta y = y(x_0 + \Delta x) — y(x_0) = y(1 + 0{,}21) — y(1) = y(1{,}21) — y(1)$;
$\Delta y = \sqrt{1{,}21} — \sqrt{1} = \sqrt{\frac{121}{100}} — 1 = \frac{11}{10} — 1 = 1{,}1 — 1 = 0{,}1$;
Ответ: $0{,}1$.

г) $\Delta x = 0{,}1025$;
$\Delta y = y(x_0 + \Delta x) — y(x_0) = y(1 + 0{,}1025) — y(1) = y(1{,}1025) — y(1)$;
$\Delta y = \sqrt{1{,}1025} — \sqrt{1} = \sqrt{\frac{11\,025}{10\,000}} — 1 = \frac{105}{100} — 1 = 1{,}05 — 1 = 0{,}05$;
Ответ: $0{,}05$.

Найти приращение функции $y = \sqrt{x}$ при переходе от точки $x_0 = 1$ к точке $x_1 = x_0 + \Delta x$.

Шаг 1. Что такое приращение функции?

Приращение функции $\Delta y$ — это разность значений функции в новой и исходной точке:

$$\Delta y = y(x_1) — y(x_0) = y(x_0 + \Delta x) — y(x_0)$$

Здесь:

• $y(x) = \sqrt{x}$ — заданная функция;
• $x_0 = 1$ — начальная точка;
• $\Delta x$ — заданное приращение аргумента;
• $x_1 = x_0 + \Delta x$ — новая точка.

Шаг 2. Найдём значение $y(x_0)$

Поскольку $x_0 = 1$, подставим в функцию:

$$y(x_0) = y(1) = \sqrt{1} = 1$$

Шаг 3. Рассмотрим каждый пункт отдельно

а) $\Delta x = 0{,}44$

Найдём новую точку:

$$x_1 = 1 + 0{,}44 = 1{,}44$$

Вычислим:

$$\Delta y = \sqrt{1{,}44} — \sqrt{1}$$

Представим 1,44 как дробь:

$$1{,}44 = \frac{144}{100} \Rightarrow \sqrt{1{,}44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1{,}2$$

Вычитаем:

$$\Delta y = 1{,}2 — 1 = 0{,}2$$

Ответ: $\boxed{0{,}2}$

б) $\Delta x = -0{,}19$

Найдём новую точку:

$$x_1 = 1 — 0{,}19 = 0{,}81$$

Вычислим:

$$\Delta y = \sqrt{0{,}81} — \sqrt{1}$$

Представим 0,81 как дробь:

$$0{,}81 = \frac{81}{100} \Rightarrow \sqrt{0{,}81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} = 0{,}9$$

Вычитаем:

$$\Delta y = 0{,}9 — 1 = -0{,}1$$

Ответ: $\boxed{-0{,}1}$

в) $\Delta x = 0{,}21$

Найдём новую точку:

$$x_1 = 1 + 0{,}21 = 1{,}21$$

Вычислим:

$$\Delta y = \sqrt{1{,}21} — \sqrt{1}$$

Представим 1,21 как дробь:

$$1{,}21 = \frac{121}{100} \Rightarrow \sqrt{1{,}21} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10} = 1{,}1$$

Вычитаем:

$$\Delta y = 1{,}1 — 1 = 0{,}1$$

Ответ: $\boxed{0{,}1}$

г) $\Delta x = 0{,}1025$

Найдём новую точку:

$$x_1 = 1 + 0{,}1025 = 1{,}1025$$

Вычислим:

$$\Delta y = \sqrt{1{,}1025} — \sqrt{1}$$

Представим 1,1025 как дробь:

$$1{,}1025 = \frac{11\,025}{10\,000} \quad \text{(домножив 1,1025 на 10,000)}$$ $$\sqrt{1{,}1025} = \sqrt{\frac{11\,025}{10\,000}} = \frac{\sqrt{11\,025}}{100} = \frac{105}{100} = 1{,}05$$

Вычитаем:

$$\Delta y = 1{,}05 — 1 = 0{,}05$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,05}}}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{0{,}2}$
б) $\boxed{-0{,}1}$
в) $\boxed{0{,}1}$
г) $\boxed{0{,}05}$