ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Функция у = ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$(x) задана своим графиком (рис. 40). Укажите несколько значений аргумента, для которых:

а) $\varphi'(x) > 0$;

б) $\varphi'(x) < 0$ и $x > 0$;

в) $\varphi'(x) < 0$;

г) $\varphi'(x) > 0$ и $x < 0$

Функция $y = \varphi(x)$ задана своим графиком (рисунок 40);
Указать несколько значений аргумента, для которых:

(Производная функции положительна на промежутках возрастания функции и отрицательна — на промежутках убывания);

а) $\varphi'(x) > 0$;
Ответ: $-7;\ -5;\ 1{,}3;\ 2$

б) $\varphi'(x) < 0$ и $x > 0$;
Ответ: $3{,}1;\ 4;\ 4{,}5;\ 4{,}9$

в) $\varphi'(x) < 0$;
Ответ: $-9;\ -3;\ -1;\ 4$

г) $\varphi'(x) > 0$ и $x < 0$;
Ответ: $-7;\ -6;\ -5{,}4;\ -5$

Функция $y = \varphi(x)$ задана своим графиком (рисунок 40).

Нужно найти значения аргумента $x$, для которых:

• $\varphi'(x) > 0$ — производная положительна (функция возрастает),
• $\varphi'(x) < 0$ — производная отрицательна (функция убывает),
• с дополнительными условиями на знак $x$, если указано.

Что означает производная на графике?

Производная $\varphi'(x)$ в точке:

• Показывает наклон касательной к графику в этой точке.
• Если график идёт вверх слева направо (возрастает) → $\varphi'(x) > 0$.
• Если график идёт вниз (убывает) → $\varphi'(x) < 0$.
• Если график «плоский» (горизонтальная касательная), то $\varphi'(x) = 0$ — возможно, экстремум (максимум или минимум).

а) $\varphi'(x) > 0$

Нужно указать любые точки на участках, где график возрастает (поднимается вверх).

Ответ:

$$x = -7;\quad x = -5;\quad x = 1{,}3;\quad x = 2$$

Пояснение:

• $x = -7$ — график идёт вверх (функция возрастает).
• $x = -5$ — также на подъёме.
• $x = 1{,}3$ — график снова поднимается.
• $x = 2$ — продолжается возрастание.

Все точки лежат на возрастающих участках графика, поэтому:

$$\varphi'(x) > 0$$

б) $\varphi'(x) < 0$, причём $x > 0$

Нужно выбрать точки справа от нуля, где график убывает (идёт вниз).

Ответ:

$$x = 3{,}1;\quad x = 4;\quad x = 4{,}5;\quad x = 4{,}9$$

Пояснение:

• Все указанные точки находятся в интервале, где график спадает.
• Они строго больше нуля, как требуется по условию.

Следовательно, на этом участке:

$$\varphi'(x) < 0 \quad \text{и} \quad x > 0$$

в) $\varphi'(x) < 0$

Здесь ограничений на знак $x$ нет, просто нужно указать любые точки, где график убывает.

Ответ:

$$x = -9;\quad x = -3;\quad x = -1;\quad x = 4$$

Пояснение:

• $x = -9$ — слева убывание.
• $x = -3$ — функция идёт вниз.
• $x = -1$ — продолжается спад.
• $x = 4$ — снова график спадает (как и в пункте б)).

Значит, во всех этих точках:

$$\varphi'(x) < 0$$

г) $\varphi'(x) > 0$, причём $x < 0$

Указать точки слева от нуля, где график возрастает.

Ответ:

$$x = -7;\quad x = -6;\quad x = -5{,}4;\quad x = -5$$

Пояснение:

• Все значения $x$ находятся в левой части графика.
• В этих точках график чётко направлен вверх — функция возрастает.

Следовательно:

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{и}x<0$$