ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите скорость изменения функции в произвольной точке x:

а) $y = 9{,}5x — 3$;

б) $y = -16x + 3$;

в) $y = 6{,}7x — 13$;

г) $y = -9x + 4$

Найти скорость изменения функции в произвольной точке $x$;

Производная функции вида $y = kx + m$:

$$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x + \Delta x) — y(x)}{\Delta x};$$ $$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(k(x + \Delta x) + m) — (kx + m)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{kx + k\Delta x — kx}{\Delta x};$$ $$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{k\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} k = k;$$

а) $y = 9{,}5x — 3$;

$$y'(x) = (9{,}5x — 3)’ = 9{,}5;$$

Ответ: 9,5

б) $y = -16x + 3$;

$$y'(x) = (-16x + 3)’ = -16;$$

Ответ: -16

в) $y = 6{,}7x — 13$;

$$y'(x) = (6{,}7x — 13)’ = 6{,}7;$$

Ответ: 6,7

г) $y = -9x + 4$;

$$y'(x) = (-9x + 4)’ = -9;$$

Ответ: -9

Найти скорость изменения функции $y = f(x)$ в произвольной точке $x$, т.е. найти её производную $y'(x)$.

Общая формула производной (через предел):

Для функции $y = f(x)$ производная в точке $x$ определяется как предел:

$$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

Общий случай: функция линейного вида $y = kx + m$

Рассмотрим:

$$f(x) = kx + m$$

Подставим в формулу производной:

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{k(x + \Delta x) + m — (kx + m)}{\Delta x}$$

Раскрываем скобки:

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{kx + k\Delta x + m — kx — m}{\Delta x}$$

Сокращаем одинаковые члены:

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{k\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} k = k$$

Вывод:
Производная любой линейной функции $y = kx + m$ равна $k$ — коэффициенту при $x$.
Это означает, что скорость изменения функции в любой точке одинакова и равна $k$.

а) $y = 9{,}5x — 3$

Шаг 1. Выделим коэффициенты:

• $k = 9{,}5$
• $m = -3$

Шаг 2. Формула:

$$y'(x) = (9{,}5x — 3)’ = 9{,}5$$

Пояснение: функция возрастает с постоянной скоростью $9{,}5$ — на каждый 1 шаг по $x$, $y$ увеличивается на 9,5.

Ответ: $\boxed{9{,}5}$

б) $y = -16x + 3$

Шаг 1. Коэффициенты:

• $k = -16$
• $m = 3$

Шаг 2. Формула:

$$y'(x) = (-16x + 3)’ = -16$$

Пояснение: функция убывает с постоянной скоростью $16$ — значение $y$ уменьшается на 16 при увеличении $x$ на 1.

Ответ: $\boxed{-16}$

в) $y = 6{,}7x — 13$

Шаг 1. Коэффициенты:

• $k = 6{,}7$
• $m = -13$

Шаг 2. Формула:

$$y'(x) = (6{,}7x — 13)’ = 6{,}7$$

Пояснение: производная положительна, функция возрастает с постоянной скоростью 6,7.

Ответ: $\boxed{6{,}7}$

г) $y = -9x + 4$

Шаг 1. Коэффициенты:

• $k = -9$
• $m = 4$

Шаг 2. Формула:

$$y'(x) = (-9x + 4)’ = -9$$

Пояснение: убывающая линейная функция, скорость изменения отрицательна.

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -9}}$