ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Пользуясь алгоритмом нахождения производной (см. п. 2 в §27), выведите формулу дифференцирования функции:

а) $y = x^2 + x$

б) $y = 2x^2 — 3$

в) $y = 3x — 2x^2$

г) $y = x^4 + 4x — 5$

Пользуясь алгоритмом нахождения производной вывести формулу дифференцирования функции:

а) $y = x^2 + x$;

$y(x) = x^2 + x$;

$y(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + (x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x$;

$\Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + \Delta x$;

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 1$;

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 1) = 2x + 1$;
Ответ: $y'(x) = 2x + 1$.

б) $y = 2x^2 — 3$;

$y(x) = 2x^2 — 3$;

$y(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x)^2 — 3 = 2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 — 3$;

$\Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) = 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$;

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 4x + 2\Delta x$;

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (4x + 2\Delta x) = 4x$;
Ответ: $y'(x) = 4x$.

в) $y = 3x — 2x^2$;

$y(x) = 3x — 2x^2$;

$y(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x) — 2(x + \Delta x)^2 = 3x + 3\Delta x — 2x^2 — 4x\Delta x — (\Delta x)^2$;

$\Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) = 3\Delta x — 4x\Delta x — (\Delta x)^2$;

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 3 — 4x — \Delta x$;

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3 — 4x — \Delta x) = 3 — 4x$;
Ответ: $y'(x) = 3 — 4x$.

г) $y = x^4 + 4x — 5$;

$y(x) = x^4 + 4x — 5$;

$y(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^4 + 4(x + \Delta x) — 5$;
$y(x + \Delta x) = x^4 + 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4x + 4\Delta x — 5$;

$\Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) = 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4\Delta x$;

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 4$;

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 4) = 4x^3 + 4$;
Ответ: $y'(x) = 4x^3 + 4$.

а) $y = x^2 + x$

1. Задана функция

$$y(x) = x^2 + x$$

2. Находим значение функции в точке $x + \Delta x$:

$$y(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + (x + \Delta x)$$

Раскрываем скобки:

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$ $$x + \Delta x = x + \Delta x$$

Складываем:

$$y(x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x$$

3. Вычисляем приращение функции:

$$\Delta y = y(x + \Delta x) — y(x)$$

Подставляем:

$$\Delta y = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x) — (x^2 + x)$$

Вычитаем:

$$\Delta y = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + \Delta x$$

4. Делим приращение функции на приращение аргумента:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + \Delta x}{\Delta x}$$

Разделим каждый член отдельно:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 1$$

5. Переходим к пределу при $\Delta x \to 0$:

$$\lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 1) = 2x + 1$$

Ответ:

$$y'(x) = 2x + 1$$

б) $y = 2x^2 — 3$

1. Задана функция

$$y(x) = 2x^2 — 3$$

2. Находим $y(x + \Delta x)$:

$$y(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x)^2 — 3$$

Раскрываем:

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$ $$y(x + \Delta x) = 2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 — 3$$

3. Вычисляем $\Delta y$:

$$\Delta y = (2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 — 3) — (2x^2 — 3)$$ $$\Delta y = 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$$

4. Делим на $\Delta x$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4x\Delta x + 2(\Delta x)^2}{\Delta x}$$ $$= 4x + 2\Delta x$$

5. Предел при $\Delta x \to 0$:

$$\lim_{\Delta x \to 0} (4x + 2\Delta x) = 4x$$

Ответ:

$$y'(x) = 4x$$

в) $y = 3x — 2x^2$

1. Функция:

$$y(x) = 3x — 2x^2$$

2. Находим $y(x + \Delta x)$:

$$y(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x) — 2(x + \Delta x)^2$$

Раскрываем:

• $3(x + \Delta x) = 3x + 3\Delta x$
• $(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$
• $-2(x + \Delta x)^2 = -2x^2 — 4x\Delta x — 2(\Delta x)^2$

Складываем:

$$y(x + \Delta x) = 3x + 3\Delta x — 2x^2 — 4x\Delta x — 2(\Delta x)^2$$

3. Вычитаем $y(x)$:

$$\Delta y = (3x + 3\Delta x — 2x^2 — 4x\Delta x — 2(\Delta x)^2) — (3x — 2x^2)$$

Вычитаем:

$$\Delta y = 3\Delta x — 4x\Delta x — 2(\Delta x)^2$$

4. Делим на $\Delta x$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3\Delta x — 4x\Delta x — 2(\Delta x)^2}{\Delta x}$$ $$= 3 — 4x — 2\Delta x$$

5. Предел:

$$\lim_{\Delta x \to 0} (3 — 4x — 2\Delta x) = 3 — 4x$$

Ответ:

$$y'(x) = 3 — 4x$$

г) $y = x^4 + 4x — 5$

1. Функция:

$$y(x) = x^4 + 4x — 5$$

2. Находим $y(x + \Delta x)$:

$$y(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^4 + 4(x + \Delta x) — 5$$

Разложим $(x + \Delta x)^4$ по биному Ньютона:

$$(x + \Delta x)^4 = x^4 + 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4$$

И $4(x + \Delta x) = 4x + 4\Delta x$

Итак:

$$y(x + \Delta x) = x^4 + 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4x + 4\Delta x — 5$$

3. Вычислим $\Delta y$:

$$\Delta y = y(x + \Delta x) — y(x)$$

Подставим:

$$\Delta y = [x^4 + 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4x + 4\Delta x — 5] — [x^4 + 4x — 5]$$

Вычтем:

$$\Delta y = 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4\Delta x$$

4. Делим на $\Delta x$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4\Delta x}{\Delta x}$$

Разделим каждый член:

$$= 4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 4$$

5. Предел:

$$\lim_{\Delta x \to 0} (4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 4) = 4x^3 + 4$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+4$$