ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 39). Укажите любые два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, при которых:

а) $f'(x_1) > 0; \quad f'(x_2) > 0$

б) $f'(x_1) < 0; \quad f'(x_2) > 0$

в) $f'(x_1) < 0; \quad f'(x_2) < 0$

г) $f^{\mathrm{\prime }}(x_1)>0;f^{\mathrm{\prime }}(x_2)<0$

Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рисунок 39);
Указать любые два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, при которых:

(Производная функции положительна на промежутках возрастания функции и отрицательна — на промежутках убывания);

а) $f'(x_1) > 0; \quad f'(x_2) > 0$

$$x_1 = -1, \quad x_2 = 0;$$

б) $f'(x_1) < 0; \quad f'(x_2) > 0$

$$x_1 = 5, \quad x_2 = -2;$$

в) $f'(x_1) < 0; \quad f'(x_2) < 0$

$$x_1 = -8, \quad x_2 = 4;$$

г) $f'(x_1) > 0; \quad f'(x_2) < 0$

$$x_1 = 2, \quad x_2 = 6;$$

Функция $y = f(x)$ задана графиком (рисунок 39).
Требуется указать такие значения аргумента $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются определённые условия на знак производной.

Теория:

Производная $f'(x)$ показывает угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x$. Это выражает скорость изменения функции:

• Если график возрастает (идёт вверх при движении слева направо), то:

  $$f'(x) > 0$$

• Если график убывает (идёт вниз), то:

  $$f'(x) < 0$$

• В экстремумах (максимумах и минимумах) производная равна нулю:

  $$f'(x) = 0$$

Таким образом, задача сводится к визуальному анализу графика функции и выбору таких точек $x$, где функция:

• возрастает → производная положительна,
• убывает → производная отрицательна.

а) $f'(x_1) > 0;\quad f'(x_2) > 0$

Требование:

Обе точки должны лежать на промежутках возрастания графика.

Выбор:

$$x_1 = -1,\quad x_2 = 0$$

Пояснение:

• В окрестности $x = -1$ график направлен вверх → производная $> 0$.
• В окрестности $x = 0$ график также идёт вверх → $f'(0) > 0$.

б) $f'(x_1) < 0;\quad f'(x_2) > 0$

Требование:

• $x_1$: убывание — производная отрицательна.
• $x_2$: возрастание — производная положительна.

Выбор:

$$x_1 = 5,\quad x_2 = -2$$

Пояснение:

• При $x = 5$ график спускается — убывание, следовательно $f'(5) < 0$.
• При $x = -2$ график поднимается — возрастание, $f'(-2) > 0$.

в) $f'(x_1) < 0;\quad f'(x_2) < 0$

Требование:

Обе точки должны быть на участках убывания.

Выбор:

$$x_1 = -8,\quad x_2 = 4$$

Пояснение:

• При $x = -8$ функция убывает — производная отрицательна.
• При $x = 4$ также наблюдается спад функции — $f'(4) < 0$.

г) $f'(x_1) > 0;\quad f'(x_2) < 0$

Требование:

• $x_1$: возрастание — производная положительна.
• $x_2$: убывание — производная отрицательна.

Выбор:

$$x_1 = 2,\quad x_2 = 6$$

Пояснение:

• При $x = 2$ график поднимается → $f'(2) > 0$.
• При $x = 6$ график опускается → $f'(6) < 0$.