ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = 7x + 4$;

б) $y = x^2$;

в) $y = -6x + 1$;

г) $y = \frac{1}{x}$

Найти производную функции:

а) $y = 7x + 4$;
$y'(x) = (7x + 4)’ = 7$;
Ответ: 7.

б) $y = x^2$;
$y'(x) = (x^2)’ = 2x$;
Ответ: $2x$.

в) $y = -6x + 1$;
$y'(x) = (-6x + 1)’ = -6$;
Ответ: $-6$.

г) $y = \frac{1}{x}$;
$y'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)’ = -\frac{1}{x^2}$;
Ответ: $-\frac{1}{x^2}$.

а) $y = 7x + 4$

Шаг 1: Разложим по правилу суммы

$$y'(x) = (7x + 4)’ = (7x)’ + (4)’$$

Шаг 2: Применим правило производной линейной функции

$$(7x)’ = 7 \cdot (x)’ = 7 \cdot 1 = 7$$

Шаг 3: Производная константы

$$(4)’ = 0$$

Шаг 4: Складываем

$$y'(x) = 7 + 0 = 7$$

Ответ: $\boxed{7}$

б) $y = x^2$

Шаг 1: Используем табличную производную степенной функции

$$y'(x) = (x^2)’ = 2x^{2-1} = 2x$$

Ответ: $\boxed{2x}$

в) $y = -6x + 1$

Шаг 1: Разложим по правилу суммы/разности

$$y'(x) = (-6x + 1)’ = (-6x)’ + (1)’$$

Шаг 2: Производная линейного члена

$$(-6x)’ = -6 \cdot (x)’ = -6 \cdot 1 = -6$$

Шаг 3: Производная константы

$$(1)’ = 0$$

Шаг 4: Складываем

$$y'(x) = -6 + 0 = -6$$

Ответ: $\boxed{-6}$

г) $y = \dfrac{1}{x}$

Шаг 1: Представим в виде степени

$$\frac{1}{x} = x^{-1}$$

Шаг 2: Используем табличное правило производной степенной функции

$$y'(x) = (x^{-1})’ = -1 \cdot x^{-1 — 1} = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{1}{x^2}}}$