ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = (x^2 — 1)(x^4 + 2)$;

б) $y = (x^3 + 1)\sqrt{x}$;

в) $y = (x^2 + 3)(x^4 — 1)$;

г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$

Найти производную функции:

а) $y = (x^2 — 1)(x^4 + 2)$;

$$y'(x) = (x^2 — 1)’ \cdot (x^4 + 2) + (x^2 — 1) \cdot (x^4 + 2)’ ;$$ $$y'(x) = (2x — 0) \cdot (x^4 + 2) + (x^2 — 1) \cdot (4x^3 + 0) ;$$ $$y'(x) = 2x^5 + 4x + 4x^5 — 4x^3 = 6x^5 — 4x^3 + 4x ;$$

б) $y = (x^3 + 1)\sqrt{x}$;

$$y'(x) = (x^3 + 1)’ \cdot \sqrt{x} + (x^3 + 1) \cdot (\sqrt{x})’ ;$$ $$y'(x) = (3x^2 + 0) \cdot \sqrt{x} + (x^3 + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} ;$$ $$y'(x) = \frac{3x^2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x^3 + x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}} ;$$

в) $y = (x^2 + 3)(x^4 — 1)$;

$$y'(x) = (x^2 + 3)’ \cdot (x^4 — 1) + (x^2 + 3) \cdot (x^4 — 1)’ ;$$ $$y'(x) = (2x + 0) \cdot (x^4 — 1) + (x^2 + 3) \cdot (4x^3 — 0) ;$$ $$y'(x) = 2x^5 — 2x + 4x^5 + 12x^3 = 6x^5 + 12x^3 — 2x ;$$

г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$;

$$y'(x) = (\sqrt{x})’ \cdot (x^4 + 2) + \sqrt{x} \cdot (x^4 + 2)’ ;$$ $$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x^4 + 2) + \sqrt{x} \cdot (4x^3 + 0) ;$$ $$y'(x) = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + \frac{4x^3 \cdot \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{x^4 + 2 + 8x^4}{2\sqrt{x}} = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}} ;$$

Во всех пунктах используется правило производной произведения:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

а) $y = (x^2 — 1)(x^4 + 2)$

Шаг 1: Обозначим множители

• $u = x^2 — 1$
• $v = x^4 + 2$

Шаг 2: Найдём производные

• $u’ = (x^2 — 1)’ = 2x$
• $v’ = (x^4 + 2)’ = 4x^3$

Шаг 3: Применим правило производной произведения

$$y'(x) = u’v + uv’ = 2x(x^4 + 2) + (x^2 — 1)(4x^3)$$

Шаг 4: Раскроем скобки

$$2x(x^4 + 2) = 2x^5 + 4x \\ (x^2 — 1)(4x^3) = 4x^5 — 4x^3$$

Шаг 5: Складываем

$$y'(x) = (2x^5 + 4x) + (4x^5 — 4x^3) = 6x^5 — 4x^3 + 4x$$

Ответ: $\boxed{6x^5 — 4x^3 + 4x}$

б) $y = (x^3 + 1)\sqrt{x}$

Шаг 1: Обозначим множители

• $u = x^3 + 1$
• $v = \sqrt{x} = x^{1/2}$

Шаг 2: Найдём производные

• $u’ = 3x^2$
• $v’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Шаг 3: Применим правило

$$y'(x) = u’v + uv’ = 3x^2 \cdot \sqrt{x} + (x^3 + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4: Приведём к общему знаменателю

Приводим к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

• $3x^2 \cdot \sqrt{x} = \frac{6x^3}{2\sqrt{x}}$
• $\frac{x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$ — уже готово

Шаг 5: Складываем

$$y'(x) = \frac{6x^3 + x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $\boxed{\frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}}$

в) $y = (x^2 + 3)(x^4 — 1)$

Шаг 1: Обозначим множители

• $u = x^2 + 3$
• $v = x^4 — 1$

Шаг 2: Найдём производные

• $u’ = 2x$
• $v’ = 4x^3$

Шаг 3: Применим правило

$$y'(x) = u’v + uv’ = 2x(x^4 — 1) + (x^2 + 3)(4x^3)$$

Шаг 4: Раскроем скобки

• $2x(x^4 — 1) = 2x^5 — 2x$
• $(x^2 + 3)(4x^3) = 4x^5 + 12x^3$

Шаг 5: Складываем

$$y'(x) = 2x^5 — 2x + 4x^5 + 12x^3 = 6x^5 + 12x^3 — 2x$$

Ответ: $\boxed{6x^5 + 12x^3 — 2x}$

г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$

Шаг 1: Обозначим множители

• $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$
• $v = x^4 + 2$

Шаг 2: Найдём производные

• $u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $v’ = 4x^3$

Шаг 3: Применим правило

$$y'(x) = u’v + uv’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x^4 + 2) + \sqrt{x} \cdot 4x^3$$

Шаг 4: Перепишем второе слагаемое

• $\sqrt{x} \cdot 4x^3 = 4x^3\sqrt{x} = \frac{8x^4}{2\sqrt{x}}$

Шаг 5: Приводим всё к одному знаменателю

$$y'(x) = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + \frac{8x^4}{2\sqrt{x}} = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{9x^4+2}{2\sqrt{x}}}}$