ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \left( \frac{1}{x} + 1 \right)(2x — 3)$;

б) $y = \sqrt{x} \cdot \cos x$;

в) $y = \left( \frac{1}{x} + 8 \right)(5x — 2)$;

г) $y = \sqrt{x} \cdot \sin x$

Найти производную функции:

а) $y = \left( \frac{1}{x} + 1 \right)(2x — 3)$;

$$y'(x) = \left( \frac{1}{x} + 1 \right)’ \cdot (2x — 3) + \left( \frac{1}{x} + 1 \right) \cdot (2x — 3)’ ;$$ $$y'(x) = \left( -\frac{1}{x^2} + 0 \right) \cdot (2x — 3) + \left( \frac{1}{x} + 1 \right) \cdot 2 ;$$ $$y'(x) = -\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x} + 2 = \frac{3}{x^2} + 2 ;$$

б) $y = \sqrt{x} \cdot \cos x$;

$$y'(x) = (\sqrt{x})’ \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (\cos x)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (-\sin x) ;$$ $$y'(x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} — \frac{\sin x \cdot \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos x — 2x \cdot \sin x}{2\sqrt{x}} ;$$

в) $y = \left( \frac{1}{x} + 8 \right)(5x — 2)$;

$$y'(x) = \left( \frac{1}{x} + 8 \right)’ \cdot (5x — 2) + \left( \frac{1}{x} + 8 \right) \cdot (5x — 2)’ ;$$ $$y'(x) = \left( -\frac{1}{x^2} + 0 \right) \cdot (5x — 2) + \left( \frac{1}{x} + 8 \right) \cdot 5 ;$$ $$y'(x) = -\frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x} + 40 = \frac{2}{x^2} + 40 ;$$

г) $y = \sqrt{x} \cdot \sin x$;

$$y'(x) = (\sqrt{x})’ \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot (\sin x)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x ;$$ $$y'(x) = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \frac{\cos x \cdot \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{\sin x + 2x \cdot \cos x}{2\sqrt{x}} ;$$

В каждом пункте применяется правило производной произведения:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

а) $y = \left( \frac{1}{x} + 1 \right)(2x — 3)$

Шаг 1: Обозначим множители

• $u = \frac{1}{x} + 1$
• $v = 2x — 3$

Шаг 2: Найдём производные

• $u’ = \left( \frac{1}{x} \right)’ + (1)’ = -\frac{1}{x^2} + 0 = -\frac{1}{x^2}$
• $v’ = (2x)’ — (3)’ = 2 — 0 = 2$

Шаг 3: Применим правило

$$y’ = u’v + uv’ = \left( -\frac{1}{x^2} \right)(2x — 3) + \left( \frac{1}{x} + 1 \right)(2)$$

Шаг 4: Раскроем скобки

• Первая часть:

$$-\frac{1}{x^2}(2x — 3) = -\frac{2x — 3}{x^2} = -\frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2} = -\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$$

• Вторая часть:

$$2\left( \frac{1}{x} + 1 \right) = \frac{2}{x} + 2$$

Шаг 5: Складываем

$$y'(x) = \left( -\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) + \left( \frac{2}{x} + 2 \right) = \frac{3}{x^2} + 2$$

Ответ: $\boxed{\frac{3}{x^2} + 2}$

б) $y = \sqrt{x} \cdot \cos x$

Шаг 1: Обозначим множители

• $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$
• $v = \cos x$

Шаг 2: Производные

• $u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $v’ = -\sin x$

Шаг 3: Применим правило

$$y’ = u’v + uv’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (-\sin x)$$ $$y'(x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} — \sqrt{x} \cdot \sin x$$

Шаг 4: Приведём к общему знаменателю $2\sqrt{x}$

• $\sqrt{x} \cdot \sin x = \frac{2x \cdot \sin x}{2\sqrt{x}}$

$$y'(x) = \frac{\cos x — 2x \cdot \sin x}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\cos x — 2x \cdot \sin x}{2\sqrt{x}}}$

в) $y = \left( \frac{1}{x} + 8 \right)(5x — 2)$

Шаг 1: Обозначим множители

• $u = \frac{1}{x} + 8$
• $v = 5x — 2$

Шаг 2: Производные

• $u’ = -\frac{1}{x^2}$
• $v’ = 5$

Шаг 3: Применим правило

$$y’ = u’v + uv’ = \left( -\frac{1}{x^2} \right)(5x — 2) + \left( \frac{1}{x} + 8 \right) \cdot 5$$

Шаг 4: Раскроем скобки

• Первая часть:

$$-\frac{1}{x^2}(5x — 2) = -\frac{5x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = -\frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}$$

• Вторая часть:

$$5\left( \frac{1}{x} + 8 \right) = \frac{5}{x} + 40$$

Шаг 5: Складываем

$$y'(x) = \left( -\frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} \right) + \left( \frac{5}{x} + 40 \right) = \frac{2}{x^2} + 40$$

Ответ: $\boxed{\frac{2}{x^2} + 40}$

г) $y = \sqrt{x} \cdot \sin x$

Шаг 1: Обозначим множители

• $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$
• $v = \sin x$

Шаг 2: Производные

• $u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $v’ = \cos x$

Шаг 3: Применим правило

$$y’ = u’v + uv’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x$$

Шаг 4: Приведём второе слагаемое к общему знаменателю

• $\sqrt{x} \cdot \cos x = \frac{2x \cdot \cos x}{2\sqrt{x}}$

Шаг 5: Складываем

$$y'(x) = \frac{\sin x + 2x \cdot \cos x}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{\sin x+2x\cdot \cos x}{2\sqrt{x}}}}$