ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 3 \sin x + \ctg x$;

б) $y = \operatorname{tg} x — \cos x$;

в) $y = \cos x + \operatorname{tg} x$;

г) $y = 6 \operatorname{tg} x — \sin x$

Найти производную функции:

а) $y = 3 \sin x + \ctg x$;
$y'(x) = 3(\sin x)’ + (\ctg x)’ = 3 \cos x — \frac{1}{\sin^2 x}$;

б) $y = \operatorname{tg} x — \cos x$;
$y'(x) = (\operatorname{tg} x)’ — (\cos x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} — (-\sin x) = \frac{1}{\cos^2 x} + \sin x$;

в) $y = \cos x + \operatorname{tg} x$;
$y'(x) = (\cos x)’ + (\operatorname{tg} x)’ = -\sin x + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} — \sin x$;

г) $y = 6 \operatorname{tg} x — \sin x$;
$y'(x) = 6(\operatorname{tg} x)’ — (\sin x)’ = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} — \cos x = \frac{6}{\cos^2 x} — \cos x$

а) $y = 3 \sin x + \cot x$

Шаг 1: Разделим на слагаемые

$$y = 3 \cdot \sin x + \cot x$$

Шаг 2: Используем стандартные производные

• $(\sin x)’ = \cos x$
• $(\cot x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Шаг 3: Применяем

$$y'(x) = 3 \cdot (\sin x)’ + (\cot x)’ = 3 \cos x — \frac{1}{\sin^2 x}$$

Ответ: $\boxed{3 \cos x — \frac{1}{\sin^2 x}}$

б) $y = \tan x — \cos x$

Шаг 1: Разделим на слагаемые

$$y = \tan x — \cos x$$

Шаг 2: Используем производные

• $(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $(\cos x)’ = -\sin x$

Шаг 3: Применяем

$$y'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} — (-\sin x) = \frac{1}{\cos^2 x} + \sin x$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{\cos^2 x} + \sin x}$

в) $y = \cos x + \tan x$

Шаг 1: Разделим на слагаемые

$$y = \cos x + \tan x$$

Шаг 2: Используем производные

• $(\cos x)’ = -\sin x$
• $(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$

Шаг 3: Применяем

$$y'(x) = -\sin x + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} — \sin x$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{\cos^2 x} — \sin x}$

г) $y = 6 \tan x — \sin x$

Шаг 1: Разделим на слагаемые

$$y = 6 \cdot \tan x — \sin x$$

Шаг 2: Используем производные

• $(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $(\sin x)’ = \cos x$

Шаг 3: Применяем

$$y'(x) = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} — \cos x = \frac{6}{\cos^2 x} — \cos x$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{6}{{\cos }^{2}x}-\cos x}}$