ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

а) $y = (3x — 2)^7, \; x_0 = 3$;

б) $y = \sin\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right), \; x_0 = \frac{\pi}{12}$;

в) $y = tg\left(3x — \frac{\pi}{4}\right), \; x_0 = \frac{\pi}{12}$;

г) $y = \sqrt{25 — 9x}, \; x_0 = 1$

Найти значение производной функции в точке $x_0$:

а) $y = (3x — 2)^7, \; x_0 = 3$;
$y'(x) = 3 \cdot 7(3x — 2)^6 = 21(3x — 2)^6$;
$y'(3) = 21 \cdot (3 \cdot 3 — 2)^6 = 21 \cdot (9 — 2)^6 = 3 \cdot 7 \cdot 7^6 = 3 \cdot 7^7$;
Ответ: $3 \cdot 7^7$.

б) $y = \sin\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right), \; x_0 = \frac{\pi}{12}$;
$y'(x) = -2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right)$;
$y’\left(\frac{\pi}{12}\right) = -2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} — 2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6}\right) = -2 \cos 0 = -2$;
Ответ: $-2$.

в) $y = tg\left(3x — \frac{\pi}{4}\right), \; x_0 = \frac{\pi}{12}$;
$y'(x) = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2\left(3x — \frac{\pi}{4}\right)}$;
$y’\left(\frac{\pi}{12}\right) = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2\left(3 \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{3}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{3}{\cos^2 0} = \frac{3}{1^2} = 3$;
Ответ: $3$.

г) $y = \sqrt{25 — 9x}, \; x_0 = 1$;
$y'(x) = -9 \cdot \frac{1}{2\sqrt{25 — 9x}}$;
$y'(1) = -9 \cdot \frac{1}{2\sqrt{25 — 9 \cdot 1}} = -\frac{9}{2\sqrt{16}} = -\frac{9}{2 \cdot 4} = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8}$;
Ответ: $-1\frac{1}{8}$.

а)

Дана функция:

$$y = (3x — 2)^7,\quad x_0 = 3$$

Шаг 1: Найдём производную сложной функции.
Это сложная функция вида $y = [u(x)]^n$, где $u(x) = 3x — 2$, $n = 7$.
Используем правило производной степени сложной функции:

$$\left[ u(x)^n \right]’ = n \cdot u'(x) \cdot u(x)^{n-1}$$

Находим:

• $u(x) = 3x — 2$
• $u'(x) = 3$

Применяем:

$$y'(x) = 7 \cdot 3 \cdot (3x — 2)^6 = 21(3x — 2)^6$$

Шаг 2: Подставим $x = 3$:

$$y'(3) = 21(3 \cdot 3 — 2)^6 = 21(9 — 2)^6 = 21 \cdot 7^6$$

Разложим:

$$21 = 3 \cdot 7 \Rightarrow y'(3) = 3 \cdot 7 \cdot 7^6 = 3 \cdot 7^7$$

Ответ: $\boxed{3 \cdot 7^7}$

б)

Функция:

$$y = \sin\left( \frac{\pi}{6} — 2x \right), \quad x_0 = \frac{\pi}{12}$$

Шаг 1: Производная сложной функции $\sin(u(x))$:

$$(\sin u(x))’ = \cos u(x) \cdot u'(x)$$

• $u(x) = \frac{\pi}{6} — 2x$
• $u'(x) = -2$

$$y'(x) = \cos\left( \frac{\pi}{6} — 2x \right) \cdot (-2) = -2 \cos\left( \frac{\pi}{6} — 2x \right)$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{\pi}{12}$:

$$y’\left( \frac{\pi}{12} \right) = -2 \cos\left( \frac{\pi}{6} — 2 \cdot \frac{\pi}{12} \right) = -2 \cos\left( \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) = -2 \cos(0)$$ $$\cos(0) = 1 \Rightarrow y’\left( \frac{\pi}{12} \right) = -2$$

Ответ: $\boxed{-2}$

в)

Функция:

$$y = \tan\left( 3x — \frac{\pi}{4} \right), \quad x_0 = \frac{\pi}{12}$$

Шаг 1: Производная сложной функции $\tan(u(x))$:

$$(\tan u(x))’ = \frac{u'(x)}{\cos^2(u(x))}$$

• $u(x) = 3x — \frac{\pi}{4}$
• $u'(x) = 3$

$$y'(x) = \frac{3}{\cos^2(3x — \frac{\pi}{4})}$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{\pi}{12}$:

$$3x = 3 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow u(x) = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = 0$$ $$y’\left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{3}{\cos^2(0)} = \frac{3}{1^2} = 3$$

Ответ: $\boxed{3}$

г)

Функция:

$$y = \sqrt{25 — 9x},\quad x_0 = 1$$

Шаг 1: Представим как степень:

$$y = (25 — 9x)^{1/2}$$

Применим правило производной:

$$y'(x) = \frac{1}{2} (25 — 9x)^{-1/2} \cdot (-9) = -\frac{9}{2\sqrt{25 — 9x}}$$

Шаг 2: Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = -\frac{9}{2\sqrt{25 — 9 \cdot 1}} = -\frac{9}{2\sqrt{16}} = -\frac{9}{2 \cdot 4} = -\frac{9}{8}$$ $$— \frac{9}{8} = -1{1 \over 8}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{9}{8}}$ или $\boxed{{\displaystyle -1\frac{1}{8}}}$