ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) равен k, если:

а) $f(x) = \sqrt{x} — x, \quad k = 1$;

б) $f(x) = \sin x \cdot \cos x, \quad k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $f(x) = \sqrt{x} + 3x, \quad k = 4$;

г) $f(x) = \cos^2 x, \quad k = \frac{1}{2}$

Определить абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ равен $k$, если:

а) $f(x) = \sqrt{x} — x, \quad k = 1$;
Производная функции:
$f'(x) = (\sqrt{x})’ — (x)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 1 = \frac{1 — 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$;
Значение переменной:
$\frac{1 — 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = 1$;
$1 — 2\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$;
$4\sqrt{x} = 1$;
$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$;
$x = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$;
Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) $f(x) = \sin x \cdot \cos x, \quad k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
Производная функции:
$f'(x) = (\sin x)’ \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)’$;
$f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos(x + x) = \cos 2x$;
Значение переменной:
$\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$2x = \pm \arccos\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;
$x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$;
Ответ: $\pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$.

в) $f(x) = \sqrt{x} + 3x, \quad k = 4$;
Производная функции:
$f'(x) = (\sqrt{x})’ + (3x)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3 = \frac{1 + 6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$;
Значение переменной:
$\frac{1 + 6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = 4$;
$1 + 6\sqrt{x} = 8\sqrt{x}$;
$2\sqrt{x} = 1$;
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$;
$x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} = 0{,}25$;
Ответ: 0,25.

г) $f(x) = \cos^2 x, \quad k = \frac{1}{2}$;
Производная функции:
$f'(x) = (\cos x \cdot \cos x)’ = (\cos x)’ \cdot \cos x + \cos x \cdot (\cos x)’$;
$f'(x) = 2\cos x \cdot (\cos x)’ = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -\sin 2x$;
Значение переменной:
$-\sin 2x = \frac{1}{2}$;
$\sin 2x = -\frac{1}{2}$;
$2x = (-1)^n \cdot \arcsin\left( -\frac{1}{2} \right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$;
Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

а) $f(x) = \sqrt{x} — x$, $k = 1$

Шаг 1: Найдём производную функции.
Функция состоит из двух слагаемых:

• $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(x)’ = 1$

Значит:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 1$$

Шаг 2: Приравняем производную к заданному значению углового коэффициента касательной $k = 1$:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} — 1 = 1$$

Шаг 3: Решим уравнение.
Переносим -1:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 2$$

Умножим обе части на $2\sqrt{x}$:

$$1 = 4\sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{4}$$

Возводим в квадрат:

$$x = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{16}}$

б) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$, $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Найдём производную функции.

Это произведение:

$$f'(x) = (\sin x)’ \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)’ = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x)$$

Преобразуем:

$$f'(x) = \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$$

Шаг 2: Приравняем к $k$:

$$\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Найдём значения 2x.

$$2x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 4: Разделим на 2:

$$x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$$

Ответ: $\boxed{\pm \frac{3\pi}{8} + \pi n}$

в) $f(x) = \sqrt{x} + 3x$, $k = 4$

Шаг 1: Найдём производную функции.

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3$$

Шаг 2: Приравняем к $k = 4$:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3 = 4 \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$$

Умножим обе части на $2\sqrt{x}$:

$$1 = 2\sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{2}$$

Возводим в квадрат:

$$x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Ответ: $\boxed{0{,}25}$

г) $f(x) = \cos^2 x$, $k = \frac{1}{2}$

Шаг 1: Найдём производную.

$$f(x) = (\cos x)^2 \Rightarrow f'(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\cos x \cdot \sin x$$

Используем тригонометрическую формулу:

$$-2\cos x \sin x = -\sin 2x$$

Шаг 2: Приравняем к $k$:

$$-\sin 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Решим уравнение.

$$2x = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

Разделим на 2:

$$x = -\frac{\pi}{12} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$$

Или, в обобщённом виде:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle (-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}}}$