ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство g'(x) > 0, если:

а) $g(x) = x^3 + x^4$;

б) $g(x) = \frac{4}{2 — 5x}$

Решить неравенство $g'(x) > 0$, если:

а) $g(x) = x^3 + x^4$;

Производная функции:
$g'(x) = (x^3)’ + (x^4)’ = 3x^2 + 4x^3$;

Значения переменной:
$3x^2 + 4x^3 > 0$;
$x^2 \cdot (3 + 4x) > 0$;
$3 + 4x > 0, \; x \ne 0$;
$4x > -3$;
$x > -0,75$;

Ответ: $x \in (-0,75; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) $g(x) = \frac{4}{2 — 5x}$;

Производная функции:
$g'(x) = 4 \cdot (-5) \cdot \left( -\frac{1}{(2 — 5x)^2} \right) = \frac{20}{(2 — 5x)^2}$;

Значения переменной:
$\frac{20}{(2 — 5x)^2} > 0$;
$2 — 5x \ne 0$;
$5x \ne 2$;
$x \ne 0,4$;

Ответ: $x \in (-\infty; 0,4) \cup (0,4; +\infty)$.

Решить неравенство $g'(x) > 0$, если:

а) $g(x) = x^3 + x^4$

Шаг 1. Найдём производную $g'(x)$:

Применяем правило суммы и степенную формулу производной:

$$g'(x) = (x^3)’ + (x^4)’ = 3x^2 + 4x^3$$

Шаг 2. Решим неравенство $g'(x) > 0$:

$$3x^2 + 4x^3 > 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(3 + 4x) > 0$$

Шаг 3. Анализируем знак произведения:

У нас произведение двух множителей:

1. $x^2 \ge 0$ — всегда неотрицательное (равно 0 при $x = 0$, положительно при $x \ne 0$)
2. $3 + 4x$ — знак зависит от $x$

Шаг 4. Находим критические точки:

• $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
• $3 + 4x = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$

Шаг 5. Строим числовую прямую и определим знак на промежутках:

Разбиваем прямую на три интервала по найденным точкам:

$x < -\frac{3}{4}$

• $x^2 > 0$
• $3 + 4x < 0$
• Произведение: $(+) \cdot (-) = (-)$

$-\frac{3}{4} < x < 0$

• $x^2 > 0$
• $3 + 4x > 0$
• Произведение: $(+) \cdot (+) = (+)$

$x > 0$

• $x^2 > 0$
• $3 + 4x > 0$
• Произведение: $(+) \cdot (+) = (+)$

Шаг 6. Ответ:

Ищем, где выражение больше нуля — то есть положительное.

Исключаем точку $x = 0$, потому что при $x = 0$, $g'(x) = 0$.

$$\boxed{g'(x) > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \left(-\frac{3}{4}; 0\right) \cup \left(0; +\infty\right)}$$

б) $g(x) = \dfrac{4}{2 — 5x}$

Шаг 1. Производная дроби:

$$g(x) = 4 \cdot (2 — 5x)^{-1}$$

Применяем производную степенной функции:

$$g'(x) = 4 \cdot (-1) \cdot (2 — 5x)^{-2} \cdot (-5)$$ $$g'(x) = \frac{20}{(2 — 5x)^2}$$

Шаг 2. Решим неравенство $g'(x) > 0$:

$$\frac{20}{(2 — 5x)^2} > 0$$

Шаг 3. Анализ:

• Числитель: $20 > 0$
• Знаменатель: $(2 — 5x)^2 \ge 0$, и не равен 0, когда $2 — 5x \ne 0 \Rightarrow x \ne 0.4$

Поскольку квадрат всегда положительный (за исключением нуля), то всё выражение:

$$\frac{20}{(2 — 5x)^2} > 0 \quad \text{при всех } x \ne 0.4$$

Шаг 4. Ответ:

$$\boxed{g'(x) > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; 0.4) \cup (0.4; +\infty)}$$

Итоговые ответы:

а) $x \in \left(-\dfrac{3}{4}; 0\right) \cup \left(0; +\infty\right)$

б) $x \in (-\infty; 0.4) \cup (0.4; +\infty)$