ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.43 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = g(x) больше скорости изменения функции у = h(x):

а) $g(x) = x^3 — 3x^2$, $h(x) = 1{,}5x^2 — 9$;

б) $g(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{6}\right)$, $h(x) = 6x — 12$;

в) $g(x) = \tg\,x$, $h(x) = 4x — 81$;

г) $g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)$, $h(x) = 3 — \sqrt{2}x$

При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x)$:

а) $g(x) = x^3 — 3x^2$, $h(x) = 1{,}5x^2 — 9$;

Производные функций:
$g'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x = 3x^2 — 6x$;
$h'(x) = 1{,}5(x^2)’ — (9)’ = 1{,}5 \cdot 2x — 0 = 3x$;

Значения переменной:
$3x^2 — 6x > 3x$;
$3x^2 — 9x > 0$;
$3x(x — 3) > 0$;
$x < 0$ или $x > 3$;

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

б) $g(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{6}\right)$, $h(x) = 6x — 12$;

Производные функций:
$g'(x) = 3 \cdot \cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right)$;
$h'(x) = (6x — 12)’ = 6$;

Значения переменной:
$3 \cdot \cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > 6$;
$\cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > 2$;
$x \in \varnothing$;

Ответ: $x \in \varnothing$.

в) $g(x) = \tg\,x$, $h(x) = 4x — 81$;

Производные функций:
$g'(x) = (\tg\,x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$;
$h'(x) = (4x — 81)’ = 4$;

Значения переменной:
$\frac{1}{\cos^2 x} > 4$;
$1 > 4 \cos^2 x$;
$\cos^2 x < \frac{1}{4}$;
$1 — \sin^2 x < \frac{1}{4}$;
$\sin^2 x > \frac{3}{4}$;

Равенство выполняется при:
$\sin^2 x = \frac{3}{4}$;
$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x = \pm \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$;

Решения неравенства:
$\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \pi — \frac{\pi}{3} + \pi n$;
$\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$;

Выражение имеет смысл при:
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $$$x \in \left(\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right) \cup \left(\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n\right)$.

г) $g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)$, $h(x) = 3 — \sqrt{2}x$;

Производные функций:
$g'(x) = -2 \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)$;
$h'(x) = (3 — \sqrt{2}x)’ = -\sqrt{2}$;

Значения переменной:
$2 \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) > -\sqrt{2}$;
$\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\sin\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$-\pi — \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n < 2x — \frac{\pi}{4} < \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$;
$-\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x — \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
$-\pi < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right)$.

При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x)$?
То есть, найти все значения $x$, при которых:

$$g'(x) > h'(x)$$

а) $g(x) = x^3 — 3x^2$, $h(x) = 1{,}5x^2 — 9$

Шаг 1. Найдём производные функций

• $g'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ = 3x^2 — 6x$
• $h'(x) = (1.5x^2)’ — (9)’ = 3x$

Шаг 2. Составим неравенство

$$3x^2 — 6x > 3x$$

Переносим всё влево:

$$3x^2 — 9x > 0$$

Вынесем общий множитель:

$$3x(x — 3) > 0$$

Шаг 3. Решим неравенство

Решаем методом интервалов. Отметим нули:

• $x = 0$
• $x = 3$

Знаки на интервалах:

• при $x < 0$: $+$
• при $0 < x < 3$: $—$
• при $x > 3$: $+$

Нас интересует область, где выражение положительно:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$$

б) $g(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{6}\right)$, $h(x) = 6x — 12$

Шаг 1. Найдём производные

• $g'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(3x — \frac{\pi}{6})] = 3 \cdot \cos(3x — \frac{\pi}{6})$
• $h'(x) = \frac{d}{dx}[6x — 12] = 6$

Шаг 2. Составим неравенство

$$3 \cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > 6$$

Делим обе части на 3:

$$\cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > 2$$

Это невозможно, поскольку:

$$\cos(\text{любого } x) \in [-1, 1] \Rightarrow \cos(…) > 2 \text{ не имеет решений}$$

Ответ: $x \in \varnothing$

в) $g(x) = \tg x$, $h(x) = 4x — 81$

Шаг 1. Найдём производные

• $g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $h'(x) = 4$

Шаг 2. Составим неравенство

$$\frac{1}{\cos^2 x} > 4$$

Переносим:

$$1 > 4 \cos^2 x \quad \Rightarrow \quad \cos^2 x < \frac{1}{4}$$

Используем тождество:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x \Rightarrow \sin^2 x > \frac{3}{4}$$

Тогда:

$$\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3. Решим неравенство

$$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \text{ (решения равенства)}$$

Ищем промежутки, где $\sin^2 x > \frac{3}{4}$, то есть:

$$x \in \left(\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n\right)$$

С учётом области определения $\tg x$, исключаем точки:

$$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ:

$$x \in \left( \frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n \right)$$

г) $g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)$, $h(x) = 3 — \sqrt{2}x$

Шаг 1. Найдём производные

• $g'(x) = -2 \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)$
• $h'(x) = -\sqrt{2}$

Шаг 2. Составим неравенство

$$2 \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) > -\sqrt{2}$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3. Решим неравенство

Значение $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ решается как:

$$t \in \left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right)$$

Где $t = \frac{\pi}{4} — 2x$, подставим:

$$\frac{\pi}{4} — 2x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right)$$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$:

$$-2x \in \left(-\pi + 2\pi n; \pi + 2\pi n\right)$$

Делим на $-2$ (меняется знак неравенств):

$$x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$

б) $x \in \varnothing$

в) $x \in \left( \frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n \right)$

г) $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right)$