ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.44 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию $f'(x) = g'(x)$, если:

а) $f(x) = \sin(2x — 3), \quad g(x) = \cos(2x — 3)$;

б) $f(x) = \frac{6}{5x — 9}, \quad g(x) = \frac{3}{7 — 5x}$;

в) $f(x) = \sqrt{3x — 10}, \quad g(x) = \sqrt{14 + 6x}$;

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x, \quad g(x) = 2x + 15$

Найти значения аргумента, удовлетворяющие условию $f'(x) = g'(x)$:

а) $f(x) = \sin(2x — 3), \quad g(x) = \cos(2x — 3)$;

Производные функций:

$$f'(x) = 2 \cdot \cos(2x — 3);$$ $$g'(x) = 2 \cdot (-\sin(2x — 3));$$

Значения переменной:

$$2 \cdot \cos(2x — 3) = 2 \cdot (-\sin(2x — 3)) \quad \big| : 2$$ $$\cos(2x — 3) = -\sin(2x — 3);$$ $$\tg(2x — 3) = -1;$$ $$2x — 3 = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2}(3 — \frac{\pi}{4} + \pi n) = \frac{3}{2} — \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} = \frac{12 — \pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{12 — \pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$

б) $f(x) = \frac{6}{5x — 9}, \quad g(x) = \frac{3}{7 — 5x}$;

Производные функций:

$$f'(x) = 6 \cdot (-1) \cdot \frac{5}{(5x — 9)^2} = -\frac{30}{(5x — 9)^2} < 0;$$ $$g'(x) = 3 \cdot (-1) \cdot \frac{-5}{(7 — 5x)^2} = \frac{15}{(7 — 5x)^2} > 0;$$

Значения переменной:

$$-\frac{30}{(5x — 9)^2} = \frac{15}{(7 — 5x)^2};$$ $$x \in \varnothing;$$

Ответ: $x \in \varnothing$

в) $f(x) = \sqrt{3x — 10}, \quad g(x) = \sqrt{14 + 6x}$;

Производные функций:

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x — 10}};$$ $$g'(x) = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{14 + 6x}};$$

Значения переменной:

$$3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x — 10}} = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{14 + 6x}};$$ $$3 \cdot \sqrt{14 + 6x} = 6 \cdot \sqrt{3x — 10};$$ $$\sqrt{14 + 6x} = 2\sqrt{3x — 10};$$ $$14 + 6x = 4(3x — 10);$$ $$14 + 6x = 12x — 40;$$ $$6x = 54;$$ $$x = \frac{54}{6} = 9;$$

Ответ: 9

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x, \quad g(x) = 2x + 15$;

Производные функций:

$$f'(x) = (\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} < 0;$$ $$g'(x) = (2x + 15)’ = 2 > 0;$$

Значения переменной:

$$-\frac{1}{\sin^2 x} = 2;$$ $$x \in \varnothing;$$

Ответ: $x \in \varnothing$

Найти значения аргумента, удовлетворяющие условию $f'(x) = g'(x)$

а) $f(x) = \sin(2x — 3), \quad g(x) = \cos(2x — 3)$

Шаг 1: Найдём производные функций

• $f(x) = \sin(2x — 3) \Rightarrow f'(x) = 2 \cdot \cos(2x — 3)$ (по правилу производной сложной функции)
• $g(x) = \cos(2x — 3) \Rightarrow g'(x) = -2 \cdot \sin(2x — 3)$

Шаг 2: Приравниваем производные

$$2 \cos(2x — 3) = -2 \sin(2x — 3)$$

Шаг 3: Делим обе части на 2 (≠ 0)

$$\cos(2x — 3) = -\sin(2x — 3)$$

Шаг 4: Делим обе части на $\cos(2x — 3)$ (если $\cos \ne 0$)

$$1 = -\tan(2x — 3) \quad \Rightarrow \quad \tan(2x — 3) = -1$$

Шаг 5: Решим тригонометрическое уравнение

$$\tan(2x — 3) = -1 \Rightarrow 2x — 3 = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 6: Решим относительно x

$$2x = 3 — \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{3}{2} — \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{12 — \pi}{8} + \frac{\pi n}{2}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) $f(x) = \frac{6}{5x — 9}, \quad g(x) = \frac{3}{7 — 5x}$

Шаг 1: Найдём производные функций

$$f(x) = \frac{6}{5x — 9} \Rightarrow f'(x) = -\frac{6 \cdot 5}{(5x — 9)^2} = -\frac{30}{(5x — 9)^2}$$ $$g(x) = \frac{3}{7 — 5x} \Rightarrow g'(x) = -\frac{3 \cdot (-5)}{(7 — 5x)^2} = \frac{15}{(7 — 5x)^2}$$

Шаг 2: Приравниваем производные

$$-\frac{30}{(5x — 9)^2} = \frac{15}{(7 — 5x)^2}$$

Шаг 3: Знаменатели всегда положительные (в квадратах), левая часть отрицательна, правая — положительна

$$\Rightarrow \text{Левая часть } < 0, \quad \text{Правая часть } > 0 \Rightarrow \text{Уравнение не имеет решений}$$

Ответ:

$$\boxed{x \in \varnothing}$$

в) $f(x) = \sqrt{3x — 10}, \quad g(x) = \sqrt{14 + 6x}$

Шаг 1: Найдём производные

$$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x — 10}}, \quad g'(x) = \frac{6}{2\sqrt{14 + 6x}}$$

Шаг 2: Приравниваем производные

$$\frac{3}{2\sqrt{3x — 10}} = \frac{6}{2\sqrt{14 + 6x}} \Rightarrow \frac{3}{\sqrt{3x — 10}} = \frac{6}{\sqrt{14 + 6x}}$$

Шаг 3: Крест-накрест перемножим

$$3 \cdot \sqrt{14 + 6x} = 6 \cdot \sqrt{3x — 10}$$

Шаг 4: Делим обе части на 3

$$\sqrt{14 + 6x} = 2 \cdot \sqrt{3x — 10}$$

Шаг 5: Возводим обе части в квадрат

$$14 + 6x = 4 \cdot (3x — 10) \Rightarrow 14 + 6x = 12x — 40 \Rightarrow -6x = -54 \Rightarrow x = 9$$

Шаг 6: Проверка ОДЗ

• $3x — 10 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{10}{3} \approx 3.33$
• $14 + 6x \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{7}{3}$

Значение $x = 9$ подходит.

Ответ:

$$\boxed{x = 9}$$

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x, \quad g(x) = 2x + 15$

Шаг 1: Производные функций

$$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}, \quad g'(x) = 2$$

Шаг 2: Приравниваем производные

$$-\frac{1}{\sin^2 x} = 2$$

Шаг 3: Умножим обе части на $\sin^2 x$:

$$-1 = 2 \sin^2 x \Rightarrow \sin^2 x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 4: Противоречие: квадрат синуса не может быть отрицательным

Ответ:

$$\boxed{x \in \varnothing}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{x = \frac{12 — \pi}{8} + \frac{\pi n}{2}}$

б) $\boxed{x \in \varnothing}$

в) $\boxed{x = 9}$

г) $\boxed{{\displaystyle x\in \mathrm{\varnothing }}}$