ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.48 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях а касательные к графикам функций у = $x^7$ и у = $x^8$ в точке x = а не имеют общих точек?

б) При каких значениях а касательные к графикам функций у =$f(x) = \sqrt{x}$ и у = $2\sqrt{x+8}$ в точке x = а не имеют общих точек?

Выяснить, при каких значениях $a$ касательные к графикам функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в точке $x = a$ не имеют общих точек:

а) $f(x) = x^7$, $g(x) = x^8$;

Производные функций:
$k_1 = f'(x) = (x^7)’ = 7x^6$;
$k_2 = g'(x) = (x^8)’ = 8x^7$;

Касательные параллельны:
$7x^6 = 8x^7$;
$8x^7 — 7x^6 = 0$;
$x^6 \cdot (8x — 7) = 0$;
$x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{7}{8}$;

Значения функций различны:
$x^7 \ne x^8$;
$x^8 — x^7 \ne 0$;
$x^7 \cdot (x — 1) \ne 0$;
$x_1 \ne 0$, $x_2 \ne 1$;

Ответ: $a = \frac{7}{8}$

б) $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = 2\sqrt{x + 8}$;

Производные функций:
$k_1 = f'(x) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;
$k_2 = g'(x) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 8}} = \frac{1}{\sqrt{x + 8}}$;

Касательные параллельны:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 8}}$;
$2\sqrt{x} = \sqrt{x + 8}$;
$4x = x + 8$;
$3x = 8$;
$x = \frac{8}{3}$;

Значения функций различны:
$\sqrt{x} \ne 2\sqrt{x + 8}$;
$x \ne 4(x + 8)$;
$x \ne 4x + 32$;
$3x \ne -32$;
$x \ne -10\frac{2}{3}$;

Ответ: $a = \frac{8}{3}$

Нужно определить такие значения аргумента $a$, при которых касательные к графикам двух функций в точке $x = a$ не имеют общих точек.

Чтобы это произошло, должны выполняться два условия:

1. Касательные параллельны, то есть:
   $f'(a) = g'(a)$;
2. Значения функций в этой точке разные, то есть:
   $f(a) \ne g(a)$.
   Это значит, что касательные совпадают по наклону, но проходят через разные точки.

а) $f(x) = x^7$, $g(x) = x^8$

Шаг 1: Найдём производные функций (угловые коэффициенты касательных)

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^7) = 7x^6$$ $$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^8) = 8x^7$$

Шаг 2: Касательные параллельны

Значит, приравниваем производные:

$$7x^6 = 8x^7 \Rightarrow 8x^7 — 7x^6 = 0 \Rightarrow x^6(8x — 7) = 0$$

Решаем:

• $x^6 = 0 \Rightarrow x = 0$
• $8x — 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{8}$

Шаг 3: Проверим, при каких из этих $x$ значения функций различны

При $x = 0$:

$$f(0) = 0^7 = 0, \quad g(0) = 0^8 = 0 \Rightarrow \text{совпадают}$$

При $x = \frac{7}{8}$:

$$f\left(\frac{7}{8}\right) = \left(\frac{7}{8}\right)^7, \quad g\left(\frac{7}{8}\right) = \left(\frac{7}{8}\right)^8$$

Эти значения не равны, так как:

$$\left(\frac{7}{8}\right)^7 \ne \left(\frac{7}{8}\right)^8$$

Ответ:

$$\boxed{a = \frac{7}{8}}$$

б) $f(x) = \sqrt{x}, \quad g(x) = 2\sqrt{x + 8}$

Шаг 1: Производные

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 8}} = \frac{1}{\sqrt{x + 8}}$$

Шаг 2: Касательные параллельны

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 8}} \Rightarrow 2\sqrt{x} = \sqrt{x + 8}$$

Возводим обе части в квадрат:

$$4x = x + 8 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}$$

Шаг 3: Проверим, совпадают ли значения функций

$$f\left( \frac{8}{3} \right) = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.632$$ $$g\left( \frac{8}{3} \right) = 2\sqrt{ \frac{8}{3} + 8 } = 2\sqrt{ \frac{8}{3} + \frac{24}{3} } = 2\sqrt{\frac{32}{3}} \approx 6.532$$

Значения не совпадают.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle a=\frac{8}{3}}}$$