ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.51 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin (3x-\frac{\pi }{3})$

б) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4}{{\cos }^2(5x-1)}$

Указать, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

a) $f'(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \left(-\sin\left(3x — \frac{\pi}{3}\right)\right)$;

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{3} \cos\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) + C$.

б) $f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x — 1)} = \frac{4}{5} \cdot 5 \cdot \frac{1}{\cos^2(5x — 1)}$;

Ответ: $f(x) = \frac{4}{5} \tg(5x — 1) + C$.

Указать, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

а) $f'(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{3}\right)$

Шаг 1. Распознаем структуру производной

Функция $f'(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{3}\right)$ — это производная от функции, содержащей косинус.

Вспомним формулу производной:

$$\frac{d}{dx}[\cos(u)] = -\sin(u) \cdot u’$$

Следовательно, если:

$$f'(x) = \sin(u)$$

то:

$$f(x) = -\cos(u) + C \quad \text{(если } u’ = 1 \text{)}$$

Но у нас:

$$f'(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{3}\right)$$

Тогда:

• $u = 3x — \frac{\pi}{3}$
• $u’ = 3$

Шаг 2. Найдём первообразную

$$f(x) = -\frac{1}{u’} \cos(u) + C = -\frac{1}{3} \cos\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) + C$$

Ответ (а):

$$f(x) = -\frac{1}{3} \cos\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) + C$$

б) $f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x — 1)}$

Шаг 1. Узнаём производную

Заметим, что:

$$\frac{1}{\cos^2(u)} = \sec^2(u) = \text{производная } \tg(u)$$

Формула:

$$\frac{d}{dx}[\tg(u)] = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u’$$

У нас:

$$f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x — 1)} = 4 \cdot \frac{1}{\cos^2(5x — 1)}$$

И $u = 5x — 1$, тогда $u’ = 5$

Шаг 2. Ищем первообразную

Мы хотим получить:

$$f(x) = A \cdot \tg(5x — 1) + C$$

Сначала:

$$\frac{d}{dx}[\tg(5x — 1)] = \frac{1}{\cos^2(5x — 1)} \cdot 5 \Rightarrow \frac{1}{\cos^2(5x — 1)} = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{dx}[\tg(5x — 1)]$$

Тогда:

$$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{\cos^2(5x — 1)} = \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{dx}[\tg(5x — 1)]$$

Шаг 3. Интегрируем

$$f(x) = \frac{4}{5} \tg(5x — 1) + C$$

Ответ (б):

$$f(x) = \frac{4}{5} \tg(5x — 1) + C$$

Итоговые ответы:

а) $f(x) = -\frac{1}{3} \cos\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) + C$

б) $f(x)=\frac{4}{5}\mathrm{tg}(5x-1)+C$