ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции у = f(x), изображённому на заданном рисунке, в точках с абсциссами а, Ь, с:

а) рис. 41;

б) рис. 42.

Определить знак углового коэффициента касательной, проведенной
к графику функции $y=f(x)$, изображенному на заданном рисунке,
в точках с абсциссами $a,b,c$:

а) Рисунок 41;
В точке $a$ находится вершина графика: $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$;
В точке $b$ функция убывает: $f^{\mathrm{\prime }}(b)<0$;
В точке $c$ функция возрастает: $f^{\mathrm{\prime }}(c)>0$;

б) Рисунок 42;
В точке $a$ функция убывает: $f^{\mathrm{\prime }}(a)<0$;
В точке $b$ функция убывает: $f^{\mathrm{\prime }}(b)<0$;
В точке $c$ функция возрастает: $f^{\mathrm{\prime }}(c)>0$.

а) Рисунок 41

Анализ:

Точка $a$

• График в этой точке имеет вершину параболы — это переход от убывания к возрастанию.
• Вершина соответствует экстремуму функции (в данном случае — минимуму).
• В точке экстремума производная равна нулю.
• Значит:$$f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$$

Точка $b$

• Точка $b$ расположена слева от вершины.
• На этом участке график функции убывает — кривая идёт вниз слева направо.
• Значит, касательная в этой точке имеет отрицательный наклон, т.е. отрицательный угловой коэффициент.
• Следовательно:$$f^{\mathrm{\prime }}(b)<0$$

Точка $c$

• Точка $c$ расположена справа от вершины.
• На этом участке график функции возрастает — кривая идёт вверх слева направо.
• Касательная имеет положительный наклон, т.е. положительный угловой коэффициент.
• Следовательно:$$f^{\mathrm{\prime }}(c)>0$$

Ответ для пункта а)

• $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(b)<0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(c)>0$

б) Рисунок 42

Анализ:

Точка $a$

• На этом участке график идёт вниз.
• То есть функция убывает, а касательная имеет отрицательный наклон.
• Следовательно:$$f^{\mathrm{\prime }}(a)<0$$

Точка $b$

• По графику видно, что в этой точке функция также убывает.
• Убывание означает отрицательную производную.
• Следовательно:$$f^{\mathrm{\prime }}(b)<0$$

Точка $c$

• Здесь график начинает возрастать.
• Функция переходит к увеличению, а касательная наклонена вверх.
• Следовательно:$$f^{\mathrm{\prime }}(c)>0$$

Ответ для пункта в)

• $f^{\mathrm{\prime }}(a)<0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(b)<0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(c)>0$