ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) $f(x) = \dfrac{3x — 2}{3 — x}, \; a = 2$;

б) $f(x) = \dfrac{2x — 5}{5 — x}, \; a = 4$

Составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

a) $f(x) = \dfrac{3x — 2}{3 — x}, \; a = 2$;

Значение функции:
$f(a) = \dfrac{3 \cdot 2 — 2}{3 — 2} = 6 — 2 = 4$;

Значение производной:
$f'(x) = \dfrac{(3x — 2)’ \cdot (3 — x) — (3x — 2) \cdot (3 — x)’}{(3 — x)^2}$;
$f'(x) = \dfrac{3 \cdot (3 — x) — (3x — 2) \cdot (-1)}{(3 — x)^2} = \dfrac{9 — 3x + 3x — 2}{(3 — x)^2} = \dfrac{7}{(3 — x)^2}$;
$f'(a) = \dfrac{7}{(3 — 2)^2} = \dfrac{7}{1^2} = 7$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 4 + 7(x — 2) = 4 + 7x — 14 = 7x — 10$;

Ответ: $y = 7x — 10$.

б) $f(x) = \dfrac{2x — 5}{5 — x}, \; a = 4$;

Значение функции:
$f(a) = \dfrac{2 \cdot 4 — 5}{5 — 4} = 8 — 5 = 3$;

Значение производной:
$f'(x) = \dfrac{(2x — 5)’ \cdot (5 — x) — (2x — 5) \cdot (5 — x)’}{(5 — x)^2}$;
$f'(x) = \dfrac{2 \cdot (5 — x) — (2x — 5) \cdot (-1)}{(5 — x)^2} = \dfrac{10 — 2x + 2x — 5}{(5 — x)^2} = \dfrac{5}{(5 — x)^2}$;
$f'(a) = \dfrac{5}{(5 — 4)^2} = \dfrac{5}{1^2} = 5$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 3 + 5(x — 4) = 3 + 5x — 20 = 5x — 17$;

Ответ: $y = 5x — 17$.

Теория: уравнение касательной

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ имеет уравнение:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Где:

• $f(a)$ — значение функции в точке $x = a$,
• $f'(a)$ — значение производной (угловой коэффициент касательной) в этой же точке.

а) $f(x) = \dfrac{3x — 2}{3 — x}, \quad a = 2$

Шаг 1. Найдём значение функции в точке $x = 2$

$$f(2) = \dfrac{3 \cdot 2 — 2}{3 — 2} = \dfrac{6 — 2}{1} = \dfrac{4}{1} = 4$$

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x)$

Это дробь, применяем правило производной дроби:

$$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}, \quad u(x) = 3x — 2, \quad v(x) = 3 — x$$

Формула:

$$f'(x) = \dfrac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Посчитаем производные:

• $u'(x) = (3x — 2)’ = 3$
• $v'(x) = (3 — x)’ = -1$

Подставим:

$$f'(x) = \dfrac{3 \cdot (3 — x) — (3x — 2) \cdot (-1)}{(3 — x)^2}$$

Раскроем скобки:

$$f'(x) = \dfrac{9 — 3x + 3x — 2}{(3 — x)^2} = \dfrac{7}{(3 — x)^2}$$

Шаг 3. Найдём производную в точке $x = 2$

$$f'(2) = \dfrac{7}{(3 — 2)^2} = \dfrac{7}{1^2} = 7$$

Шаг 4. Составим уравнение касательной

Подставляем в формулу:

$$y = f(2) + f'(2)(x — 2) = 4 + 7(x — 2)$$

Шаг 5. Раскроем скобки и упростим

$$y = 4 + 7x — 14 = 7x — 10$$

Ответ:

$$\boxed{y = 7x — 10}$$

б) $f(x) = \dfrac{2x — 5}{5 — x}, \quad a = 4$

Шаг 1. Найдём значение функции в точке $x = 4$

$$f(4) = \dfrac{2 \cdot 4 — 5}{5 — 4} = \dfrac{8 — 5}{1} = \dfrac{3}{1} = 3$$

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x)$

Функция — дробь, снова применим правило производной дроби:

$$u(x) = 2x — 5, \quad v(x) = 5 — x$$ $$u'(x) = 2, \quad v'(x) = -1$$

Формула:

$$f'(x) = \dfrac{2 \cdot (5 — x) — (2x — 5) \cdot (-1)}{(5 — x)^2}$$

Раскрываем скобки:

$$f'(x) = \dfrac{10 — 2x + 2x — 5}{(5 — x)^2} = \dfrac{5}{(5 — x)^2}$$

Шаг 3. Найдём значение производной в точке $x = 4$

$$f'(4) = \dfrac{5}{(5 — 4)^2} = \dfrac{5}{1^2} = 5$$

Шаг 4. Составим уравнение касательной

$$y = f(4) + f'(4)(x — 4) = 3 + 5(x — 4)$$

Шаг 5. Упростим выражение

$$y = 3 + 5x — 20 = 5x — 17$$

Ответ:

$$\boxed{y = 5x — 17}$$

Финальные ответы:

а) $y = 7x — 10$

б) $y = 5x — 17$