ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = \cos\frac{x}{3}, \; a = 0$;

б) $f(x) = \sin 2x, \; a = \frac{\pi}{4}$

Составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = \cos\frac{x}{3}, \; a = 0$;

Значение функции:
$f(a) = \cos\frac{0}{3} = \cos 0 = 1$;

Значение производной:
$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \left( -\sin\frac{x}{3} \right) = -\frac{1}{3} \sin\frac{x}{3}$;
$f'(a) = -\frac{1}{3} \sin\frac{0}{3} = -\frac{1}{3} \sin 0 = 0$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 1 + 0 \cdot (x — 0) = 1$;

Ответ: $y = 1$.

б) $f(x) = \sin 2x, \; a = \frac{\pi}{4}$;

Значение функции:
$f(a) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$;

Значение производной:
$f'(x) = 2 \cdot \cos 2x$;
$f'(a) = 2 \cdot \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos\frac{\pi}{2} = 0$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 1 + 0 \cdot \left(x — \frac{\pi}{4}\right) = 1$;

Ответ: $y = 1$.

Если дана функция $y = f(x)$ и нужно найти уравнение касательной к её графику в точке с абсциссой $x = a$, то:

Формула уравнения касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

а) $f(x) = \cos\frac{x}{3}, \quad a = 0$

Шаг 1. Вычислим значение функции в точке $x = 0$

Подставим в выражение:

$$f(0) = \cos\left( \frac{0}{3} \right) = \cos(0) = 1$$

Шаг 2. Найдём производную функции

Функция сложная: $f(x) = \cos\left( \frac{x}{3} \right)$

Применим цепное правило:

• внешняя функция: $\cos(u)$, производная: $-\sin(u)$
• внутренняя функция: $u = \frac{x}{3}$, производная: $\frac{1}{3}$

Следовательно:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos\left( \frac{x}{3} \right) \right) = -\sin\left( \frac{x}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \sin\left( \frac{x}{3} \right)$$

Шаг 3. Вычислим производную в точке $x = 0$

$$f'(0) = -\frac{1}{3} \cdot \sin\left( \frac{0}{3} \right) = -\frac{1}{3} \cdot \sin(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$$

Шаг 4. Подставим значения в формулу касательной

$$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 1 + 0 \cdot x = 1$$

Ответ:

$$\boxed{y = 1}$$

б) $f(x) = \sin(2x), \quad a = \dfrac{\pi}{4}$

Шаг 1. Вычислим значение функции в точке $x = \dfrac{\pi}{4}$

$$f\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$$

Шаг 2. Найдём производную функции

$$f(x) = \sin(2x)$$

Применяем цепное правило:

• внешняя функция: $\sin(u)$, производная: $\cos(u)$
• внутренняя функция: $u = 2x$, производная: $2$

Тогда:

$$f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$$

Шаг 3. Вычислим значение производной в точке $x = \dfrac{\pi}{4}$

$$f’\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cdot \cos\left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot 0 = 0$$

Шаг 4. Подставим в формулу касательной

$$y = f\left( \frac{\pi}{4} \right) + f’\left( \frac{\pi}{4} \right)\left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$ $$y = 1 + 0 \cdot \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

Ответ:

$$\boxed{y = 1}$$

Финальные ответы:

а) $y = 1$

б) $y = 1$