ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На графике функции у = х³ — Зх² + х + 1 найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45. Составьте уравнение каждой из этих касательных.

Дана функция: $f(x) = x^3 — 3x^2 + x + 1$;

Производная функции:
$\tg\,a = f'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (x + 1)’$;
$\tg\,a = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 1 = 3x^2 — 6x + 1$;

Касательная и ось $x$ образуют угол $45^\circ$:
$3x^2 — 6x + 1 = \tg\,45^\circ$;
$3x^2 — 6x + 1 = 1$;
$3x^2 — 6x = 0$;
$3x(x — 2) = 0$;
$x_1 = 0$ и $x_2 = 2$;

Значения функции и производных:
$f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 0 + 1 = 1$;
$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 + 1 = 8 — 12 + 2 + 1 = -1$;
$f'(0) = f'(2) = 1$;

Уравнения касательных в данных точках:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y_1 = 1 + 1 \cdot (x — 0) = x + 1$;
$y_2 = -1 + 1 \cdot (x — 2) = x — 3$;

Ответ: $x_1 = 0,\, y = x + 1;\, x_2 = 2,\, y = x — 3$.

Функция:

$$f(x) = x^3 — 3x^2 + x + 1$$

Найти такие точки, в которых касательная к графику функции образует с осью $x$ угол $45^\circ$, а также составить уравнение этих касательных.

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x)$

Функция:

$$f(x) = x^3 — 3x^2 + x + 1$$

Применим правило дифференцирования по каждому слагаемому:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(-3x^2)’ = -6x$
• $(x)’ = 1$
• $(1)’ = 0$

Следовательно:

$$f'(x) = 3x^2 — 6x + 1$$

Шаг 2. Угол наклона касательной $= 45^\circ \Rightarrow \tan a = 1$

Если касательная образует с осью $x$ угол $45^\circ$, то её угловой коэффициент равен:

$$\tan 45^\circ = 1$$

Значит:

$$f'(x) = 1$$

Подставим:

$$3x^2 — 6x + 1 = 1$$

Шаг 3. Решим уравнение $3x^2 — 6x + 1 = 1$

Упростим:

$$3x^2 — 6x + 1 — 1 = 0 \Rightarrow 3x^2 — 6x = 0$$ $$3x(x — 2) = 0$$

Решения:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 2$$

Шаг 4. Найдём значения функции и производной в найденных точках

В точке $x = 0$:

$$f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 0 + 1 = 1$$ $$f'(0) = 3 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 + 1 = 1$$

В точке $x = 2$:

$$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 + 1 = 8 — 12 + 2 + 1 = -1$$ $$f'(2) = 3 \cdot 2^2 — 6 \cdot 2 + 1 = 12 — 12 + 1 = 1$$

Шаг 5. Составим уравнения касательных

Формула:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

В точке $x = 0$

$$y = 1 + 1(x — 0) = x + 1$$

В точке $x = 2$

$$y = -1 + 1(x — 2) = x — 2 — 1 = x — 3$$

Финальный ответ:

$$x_1 = 0, \quad y = x + 1$$ $$x_2 = 2, \quad y = x — 3$$