ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В какой точке касательная к графику функции у = х² параллельна заданной прямой:

а) $y = 2x + 1, \; k = 2$;

б) $y = -\frac{1}{2}x + 5, \; k = -\frac{1}{2}$;

в) $y = \frac{3}{4}x — 2, \; k = \frac{3}{4}$;

г) $y = -x + 5, \; k = -1$

Выяснить, в какой точке касательная к графику функции $f(x) = x^2$ параллельна заданной прямой:

а) $y = 2x + 1, \; k = 2$;
$k = f'(x) = (x^2)’ = 2x$;
Значение переменной:
$2x = 2$;
$x = \frac{2}{2} = 1$;
Ответ: 1.

б) $y = -\frac{1}{2}x + 5, \; k = -\frac{1}{2}$;
$k = f'(x) = (x^2)’ = 2x$;
Значение переменной:
$2x = -\frac{1}{2}$;
$4x = -1$;
$x = -\frac{1}{4} = -0{,}25$;
Ответ: -0,25.

в) $y = \frac{3}{4}x — 2, \; k = \frac{3}{4}$;
$k = f'(x) = (x^2)’ = 2x$;
Значение переменной:
$2x = \frac{3}{4}$;
$8x = 3$;
$x = \frac{3}{8}$;
Ответ: $\frac{3}{8}$.

г) $y = -x + 5, \; k = -1$;
$k = f'(x) = (x^2)’ = 2x$;
Значение переменной:
$2x = -1$;
$x = -\frac{1}{2} = -0{,}5$;
Ответ: -0,5.

Касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x = a$ будет параллельна данной прямой, если угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой.

• Угловой коэффициент касательной — это значение производной $f'(x)$ в точке.
• Угловой коэффициент прямой $y = kx + b$ — это число $k$.

Для $f(x) = x^2$ производная:

$$f'(x) = 2x$$

а) Прямая: $y = 2x + 1$

Шаг 1. Найдём угловой коэффициент прямой

$$k = 2$$

Шаг 2. Приравниваем к производной функции

$$f'(x) = 2x = 2$$

Шаг 3. Решим уравнение

$$2x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{2} = 1$$

Ответ:

$$\boxed{x = 1}$$

б) Прямая: $y = -\dfrac{1}{2}x + 5$

Шаг 1. Угловой коэффициент прямой

$$k = -\frac{1}{2}$$

Шаг 2. Приравниваем к производной

$$2x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3. Решаем уравнение

Умножим обе части на 2:

$$4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4} = -0{,}25$$

Ответ:

$$\boxed{x = -0{,}25}$$

в) Прямая: $y = \dfrac{3}{4}x — 2$

Шаг 1. Угловой коэффициент

$$k = \frac{3}{4}$$

Шаг 2. Приравниваем к производной

$$2x = \frac{3}{4}$$

Шаг 3. Решаем

Умножим обе части на 4:

$$8x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{3}{8}}$$

г) Прямая: $y = -x + 5$

Шаг 1. Угловой коэффициент

$$k = -1$$

Шаг 2. Приравниваем к производной

$$2x = -1$$

Шаг 3. Решаем

$$x = -\frac{1}{2} = -0{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{x = -0{,}5}$$

Финальные ответы:

а) $x = 1$

б) $x = -0{,}25$

в) $x = \frac{3}{8}$

г) $x = -0{,}5$