ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В каких точках касательная к графику заданной функции у = f(x) параллельна заданной прямой у = kx + m:

а) $f(x) = \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 10x — 4, \; y = 3 + x$;

б) $f(x) = \frac{x^4}{4} — x^2 + 8, \; y = 0$;

в) $f(x) = \frac{x^3}{3} — x^2 + 2x — 7, \; y = x — 3$;

г) $f(x) = \frac{5}{4}x^4 — x^3 + 6, \; y = 2$

Выяснить, в каких точках касательная к графику заданной функции $y = f(x)$ параллельна заданной прямой $y = kx + m$:

а) $f(x) = \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 10x — 4, \; y = 3 + x$;

Производная функции:
$k = f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — 3(x^2)’ + (10x — 4)’$;
$k = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 3 \cdot 2x + 10 = x^2 — 6x + 10$;

Значение переменной:
$x^2 — 6x + 10 = 1$;
$x^2 — 6x + 9 = 0$;
$(x — 3)^2 = 0$;
$x — 3 = 0$;
$x = 3$;

Ответ: 3.

б) $f(x) = \frac{x^4}{4} — x^2 + 8, \; y = 0$;

Производная функции:
$k = f'(x) = \frac{1}{4}(x^4)’ — (x^2)’ + (8)’$;
$k = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 — 2x + 0 = x^3 — 2x$;

Значение переменной:
$x^3 — 2x = 0$;
$x(x^2 — 2) = 0$;
$x(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) = 0$;
$x_1 = 0$ и $x_2 = \pm\sqrt{2}$;

Ответ: $-\sqrt{2}; \; 0; \; \sqrt{2}$.

в) $f(x) = \frac{x^3}{3} — x^2 + 2x — 7, \; y = x — 3$;

Производная функции:
$k = f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — (x^2)’ + (2x — 7)’$;
$k = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 2x + 2 = x^2 — 2x + 2$;

Значение переменной:
$x^2 — 2x + 2 = 1$;
$x^2 — 2x + 1 = 0$;
$(x — 1)^2 = 0$;
$x — 1 = 0$;
$x = 1$;

Ответ: 1.

г) $f(x) = \frac{5}{4}x^4 — x^3 + 6, \; y = 2$;

Производная функции:
$k = f'(x) = \frac{5}{4}(x^4)’ — (x^3)’ + (6)’$;
$k = \frac{5}{4} \cdot 4x^3 — 3x^2 + 0 = 5x^3 — 3x^2$;

Значение переменной:
$5x^3 — 3x^2 = 0$;
$x^2(5x — 3) = 0$;
$x_1 = 0$ и $x_2 = 0{,}6$;

Ответ: $0; \; 0{,}6$.

Чтобы касательная к графику функции $y = f(x)$ была параллельна заданной прямой $y = kx + m$, необходимо, чтобы угловой коэффициент касательной, то есть значение производной $f'(x)$, был равен угловому коэффициенту прямой $k$.

Итак, ищем те значения $x$, при которых:

$$f'(x) = k$$

а) $f(x) = \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 10x — 4, \quad y = 3 + x$

Шаг 1. Угловой коэффициент прямой

$$y = 3 + x \Rightarrow k = 1$$

Шаг 2. Найдём производную функции

$$f(x) = \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 10x — 4$$

Применим правила дифференцирования:

• $\left( \frac{x^3}{3} \right)’ = x^2$
• $(3x^2)’ = 6x$
• $(10x)’ = 10$
• $(-4)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = x^2 — 6x + 10$$

Шаг 3. Приравниваем производную к $k = 1$

$$x^2 — 6x + 10 = 1 \Rightarrow x^2 — 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x — 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Ответ:

$$\boxed{x = 3}$$

б) $f(x) = \frac{x^4}{4} — x^2 + 8, \quad y = 0$

Шаг 1. Угловой коэффициент прямой

$$y = 0 \Rightarrow k = 0$$

Шаг 2. Найдём производную функции

$$f(x) = \frac{x^4}{4} — x^2 + 8$$

Применяем производные:

• $\left( \frac{x^4}{4} \right)’ = x^3$
• $(x^2)’ = 2x$
• $(8)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = x^3 — 2x$$

Шаг 3. Приравниваем к $k = 0$

$$x^3 — 2x = 0 \Rightarrow x(x^2 — 2) = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x = \pm \sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = -\sqrt{2};\quad 0;\quad \sqrt{2}}$$

в) $f(x) = \frac{x^3}{3} — x^2 + 2x — 7, \quad y = x — 3$

Шаг 1. Угловой коэффициент прямой

$$y = x — 3 \Rightarrow k = 1$$

Шаг 2. Найдём производную функции

$$f(x) = \frac{x^3}{3} — x^2 + 2x — 7$$

Применим производные:

• $\left( \frac{x^3}{3} \right)’ = x^2$
• $(x^2)’ = 2x$
• $(2x)’ = 2$
• $(-7)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = x^2 — 2x + 2$$

Шаг 3. Приравниваем к $k = 1$

$$x^2 — 2x + 2 = 1 \Rightarrow x^2 — 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x — 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$$

Ответ:

$$\boxed{x = 1}$$

г) $f(x) = \frac{5}{4}x^4 — x^3 + 6, \quad y = 2$

Шаг 1. Угловой коэффициент прямой

$$y = 2 \Rightarrow k = 0$$

Шаг 2. Найдём производную функции

$$f(x) = \frac{5}{4}x^4 — x^3 + 6$$

Применяем производные:

• $\left( \frac{5}{4}x^4 \right)’ = 5x^3$
• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(6)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = 5x^3 — 3x^2$$

Шаг 3. Приравниваем к $k = 0$

$$5x^3 — 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2(5x — 3) = 0 \Rightarrow x = 0,\quad x = \frac{3}{5} = 0{,}6$$

Ответ:

$$\boxed{x = 0;\quad 0{,}6}$$

Финальные ответы:

а) $x = 3$

б) $x = -\sqrt{2};\; 0;\; \sqrt{2}$

в) $x = 1$

г) $x = 0;\; 0{,}6$