ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение той касательной к графику функции у = f(x), которая образует с осью x заданный угол а, если:

а) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 — 3\sqrt{3}x$, $a = 60^\circ$;

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x — \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$, $a = 30^\circ$

Составить уравнение той касательной к графику функции $y = f(x)$, которая образует с осью $x$ заданный угол $a$, если:

а) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 — 3\sqrt{3}x$, $a = 60^\circ$;

Производная функции:
$tg\, a = f'(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}(x^3)’ — (3\sqrt{3}x)’ = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3x^2 — 3\sqrt{3} = \sqrt{3}x^2 — 3\sqrt{3}$;
$tg\, a = tg\, 60^\circ = \sqrt{3}$;

Значения переменной:
$\sqrt{3}x^2 — 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$;
$x^2 — 3 = 1$;
$x^2 = 4$;
$x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$;

Значения функции:
$f(-2) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-2)^3 — 3\sqrt{3} \cdot (-2) = -\frac{8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3} = \frac{-8\sqrt{3} + 18\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$;
$f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 2^3 — 3\sqrt{3} \cdot 2 = \frac{8}{\sqrt{3}} — 6\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3} — 18\sqrt{3}}{3} = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$;

Уравнения касательных:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y_1 = \frac{26\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x — (-2)) = \frac{10\sqrt{3}}{3} + x\sqrt{3} + \frac{6\sqrt{3}}{3} = x\sqrt{3} + \frac{16\sqrt{3}}{3}$;
$y_2 = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x — 2) = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + x\sqrt{3} — \frac{6\sqrt{3}}{3} = x\sqrt{3} — \frac{16\sqrt{3}}{3}$;

Ответ:
$y = x\sqrt{3} + \frac{16\sqrt{3}}{3}$;
$y = x\sqrt{3} — \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x — \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$, $a = 30^\circ$;

Производная функции:
$tg\, a = f'(x) = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}x\right)’ — \frac{\sqrt{3}}{3}(x^3)’ = \frac{4}{\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \frac{4}{\sqrt{3}} — \sqrt{3}x^2$;
$tg\, a = tg\, 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Значения переменной:
$\frac{4}{\sqrt{3}} — \sqrt{3}x^2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$4 — 3x^2 = 1$;
$3x^2 = 3$;
$x^2 = 1$;
$x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$;

Значения функции:
$f(-1) = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot (-1) — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-1)^3 = -\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{-4\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$;
$f(1) = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 1 — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1^3 = \frac{4}{\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3} — \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$;

Уравнения касательных:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y_1 = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x — (-1)) = -\frac{3\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x — \frac{2\sqrt{3}}{3}$;
$y_2 = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x — 1) = \frac{3\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$;

Ответ:
$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x — \frac{2\sqrt{3}}{3}$;
$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

а) $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}x^3 — 3\sqrt{3}x$, $a = 60^\circ$

Шаг 1: Вспомним связь угла и производной

Если касательная к графику функции образует с осью $x$ угол $a$, то её угловой коэффициент равен:

$$k = \tan a$$

Производная функции в точке — это и есть угловой коэффициент касательной. Значит:

$$f'(x) = \tan a$$

Шаг 2: Найдём производную функции

Функция:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 — 3\sqrt{3}x$$

Дифференцируем по правилам:

• Производная $x^3$ — это $3x^2$
• Производная $x$ — это $1$

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3x^2 — 3\sqrt{3} \cdot 1 = 3x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} — 3\sqrt{3} = \sqrt{3}x^2 — 3\sqrt{3}$$

Шаг 3: Приравниваем производную к $\tan 60^\circ$

$$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

Подставим:

$$\sqrt{3}x^2 — 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

Разделим всё уравнение на $\sqrt{3}$ (так как $\sqrt{3} \ne 0$):

$$x^2 — 3 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

Шаг 4: Найдём соответствующие значения функции

Для $x = -2$:

$$f(-2) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-2)^3 — 3\sqrt{3} \cdot (-2) = \frac{-8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{-8\sqrt{3} + 18\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 2^3 — 3\sqrt{3} \cdot 2 = \frac{8}{\sqrt{3}} — 6\sqrt{3}$$ $$= \frac{8\sqrt{3} — 18\sqrt{3}}{3} = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 5: Уравнение касательной в общем виде

Формула уравнения касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Здесь:

• $a = x_0$
• $f(a) = y_0$
• $f'(a) = k = \tan a = \sqrt{3}$

Шаг 6: Подставим значения

Для $x = -2$:

• $x_0 = -2$
• $y_0 = \frac{10\sqrt{3}}{3}$
• $k = \sqrt{3}$

$$y = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x — (-2)) = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x + 2)$$

Раскроем скобки:

$$= \frac{10\sqrt{3}}{3} + x\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = x\sqrt{3} + \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

Для $x = 2$:

• $x_0 = 2$
• $y_0 = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$
• $k = \sqrt{3}$

$$y = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x — 2) = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + x\sqrt{3} — 2\sqrt{3}$$ $$= x\sqrt{3} — \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

Ответ (а):

$$\boxed{ \begin{aligned} y &= x\sqrt{3} + \frac{16\sqrt{3}}{3} \\ y &= x\sqrt{3} — \frac{16\sqrt{3}}{3} \end{aligned} }$$

б) $f(x) = \dfrac{4}{\sqrt{3}}x — \dfrac{\sqrt{3}}{3}x^3$, $a = 30^\circ$

Шаг 1: Найдём производную

$$f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x — \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$$

Дифференцируем:

• Производная $x$ — это 1
• Производная $x^3$ — это $3x^2$

$$f'(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 1 — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \frac{4}{\sqrt{3}} — \sqrt{3}x^2$$

Шаг 2: Приравниваем к $\tan 30^\circ$

$$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\frac{4}{\sqrt{3}} — \sqrt{3}x^2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Умножим обе части на $\sqrt{3}$:

$$4 — 3x^2 = 1 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

Шаг 3: Найдём значения функции

Для $x = -1$:

$$f(-1) = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot (-1) — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-1)^3 = -\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{-4\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$$

Для $x = 1$:

$$f(1) = \frac{4}{\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3} — \sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$

Шаг 4: Уравнение касательной

Общий вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Шаг 5: Подставим значения

Для $x = -1$:

• $x_0 = -1$
• $y_0 = -\sqrt{3}$
• $f'(x_0) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$$y = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1) = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$= \frac{\sqrt{3}}{3}x — \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Для $x = 1$:

• $x_0 = 1$
• $y_0 = \sqrt{3}$

$$y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x — 1) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle y}& {\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\ {\displaystyle y}& {\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}}}$$