ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение параболы у = х² + bх + с, касающейся прямой у = х — 1 в точке (2; 1).

Составить уравнение параболы $f(x) = x^2 + bx + c$, касающейся прямой $y = x — 1$ в точке $(2; 1)$:

Производная функции:
$f'(x) = (x^2)’ + (bx + c)’ = 2x + b$;
$k = f'(2) = 2 \cdot 2 + b = 4 + b$;

Значение коэффициента $b$:
$4 + b = 1$;
$b = 1 — 4 = -3$;

Значение коэффициента $c$:
$1 = 2^2 + (-3) \cdot 2 + c$;
$1 = 4 — 6 + c$;
$1 = -2 + c$;
$c = 1 + 2 = 3$;

Ответ: $y = x^2 — 3x + 3$.

Составить уравнение параболы

$$f(x) = x^2 + bx + c,$$

которая касается прямой

$$y = x — 1$$

в точке

$$(2; 1).$$

Что означает «парабола касается прямой в точке»?

Это значит:

1. Парабола проходит через точку $(2; 1)$ ⇒ графики имеют общую точку.
2. Касание ⇒ у них совпадают производные (т.е. угловые коэффициенты) в этой точке.

Шаг 1: Производная функции $f(x)$

Дано:

$$f(x) = x^2 + bx + c$$

Найдём производную:

• $(x^2)’ = 2x$
• $(bx)’ = b$
• $(c)’ = 0$

$$f'(x) = 2x + b$$

Шаг 2: Используем условие касания

Условие: касание в точке $(2; 1)$

Совпадение производных в точке $x = 2$

Производная прямой $y = x — 1$ — это коэффициент при $x$, то есть:

$$k = 1$$

Приравниваем производную параболы в точке $x = 2$ к производной прямой:

$$f'(2) = 2 \cdot 2 + b = 4 + b$$

Приравниваем:

$$4 + b = 1 \Rightarrow b = 1 — 4 = -3$$

Шаг 3: Подставим координаты точки в уравнение параболы

Так как точка $(2; 1)$ лежит и на параболе, подставим её в:

$$f(x) = x^2 + bx + c$$

У нас уже найдено $b = -3$, значит:

$$1 = 2^2 + (-3)\cdot 2 + c$$

Вычисляем:

$$1 = 4 — 6 + c = -2 + c \Rightarrow c = 1 + 2 = 3$$

Шаг 4: Записываем окончательное уравнение параболы

Теперь у нас:

• $b = -3$
• $c = 3$

Подставим:

$$f(x) = x^2 — 3x + 3$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle y=x^2-3x+3}}$$