ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

С помощью формулы $f(x)\approx f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$ вычислите приближённо:

а) $0,998^5$;

б) $\sqrt{1,05}$;

в) $1,03^7$;

г) $\sqrt{3,99}$

С помощью формулы $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x — a)$ вычислить:

а) $0,998^5$;

Требуется найти значение функции:
$f(x) = x^5$ в точке $x = 0,998$, $a = 1$;
$f(a) = 1^5 = 1$;
$f'(a) = (x^5)’ = 5x^4 = 5 \cdot 1^4 = 5$;
$f(0,998) \approx 1 + 5 \cdot (0,998 — 1) = 1 + 4,99 — 5 = 0,99$;
Ответ: $\approx 0,99$.

б) $\sqrt{1,05}$;

Требуется найти значение функции:
$f(x) = \sqrt{x}$ в точке $x = 1,05$, $a = 1$;
$f(a) = \sqrt{1} = 1$;
$f'(a) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} = 0,5$;
$f(1,05) \approx 1 + 0,5 \cdot (1,05 — 1) = 1 + 0,525 — 0,5 = 1,025$;
Ответ: $\approx 1,025$.

в) $1,03^7$;

Требуется найти значение функции:
$f(x) = x^7$ в точке $x = 1,03$, $a = 1$;
$f(a) = 1^7 = 1$;
$f'(a) = (x^7)’ = 7x^6 = 7 \cdot 1^6 = 7$;
$f(1,03) \approx 1 + 7 \cdot (1,03 — 1) = 1 + 7,21 — 7 = 1,21$;
Ответ: $\approx 1,21$.

г) $\sqrt{3,99}$;

Требуется найти значение функции:
$f(x) = \sqrt{x}$ в точке $x = 3,99$, $a = 4$;
$f(a) = \sqrt{4} = 2$;
$f'(a) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0,25$;
$f(3,99) \approx 2 + 0,25 \cdot (3,99 — 4) = 2 + 0,9975 — 1 = 1,9975$;
Ответ: $\approx 1,9975$.

С помощью линейного приближения функции

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x — a)$$

вычислить приближённые значения следующих выражений.

а) $0{,}998^5$

Шаг 1: Зададим функцию

Пусть

$$f(x) = x^5$$

Нужно найти:

$$f(0{,}998)$$

Шаг 2: Выбираем удобную точку $a$

Так как $0{,}998$ близко к $1$, берём:

$$a = 1$$

Шаг 3: Вычисляем $f(a)$

$$f(1) = 1^5 = 1$$

Шаг 4: Находим производную

$$f'(x) = 5x^4 \Rightarrow f'(1) = 5 \cdot 1^4 = 5$$

Шаг 5: Применяем формулу линейного приближения

$$f(0{,}998) \approx f(1) + f'(1)(0{,}998 — 1) = 1 + 5 \cdot (-0{,}002) = 1 — 0{,}01 = 0{,}99$$

Ответ (а):

$$\boxed{0{,}998^5 \approx 0{,}99}$$

б) $\sqrt{1{,}05}$

Шаг 1: Зададим функцию

$$f(x) = \sqrt{x}$$

Найти:

$$f(1{,}05)$$

Шаг 2: Удобная точка приближения

$$a = 1$$

Шаг 3: Вычисляем значение функции

$$f(1) = \sqrt{1} = 1$$

Шаг 4: Производная функции

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(1) = \frac{1}{2 \cdot 1} = 0{,}5$$

Шаг 5: Линейное приближение

$$f(1{,}05) \approx f(1) + f'(1)(1{,}05 — 1) = 1 + 0{,}5 \cdot 0{,}05 = 1 + 0{,}025 = 1{,}025$$

Ответ (б):

$$\boxed{\sqrt{1{,}05} \approx 1{,}025}$$

в) $1{,}03^7$

Шаг 1: Функция

$$f(x) = x^7$$

Ищем:

$$f(1{,}03)$$

Шаг 2: Точка приближения

$$a = 1$$

Шаг 3: Значение функции

$$f(1) = 1^7 = 1$$

Шаг 4: Производная

$$f'(x) = 7x^6 \Rightarrow f'(1) = 7 \cdot 1^6 = 7$$

Шаг 5: Линейное приближение

$$f(1{,}03) \approx 1 + 7 \cdot (1{,}03 — 1) = 1 + 7 \cdot 0{,}03 = 1 + 0{,}21 = 1{,}21$$

Ответ (в):

$$\boxed{1{,}03^7 \approx 1{,}21}$$

г) $\sqrt{3{,}99}$

Шаг 1: Функция

$$f(x) = \sqrt{x}$$

Найти:

$$f(3{,}99)$$

Шаг 2: Точка приближения

$$a = 4$$

(потому что $\sqrt{4}$ считается легко)

Шаг 3: Значение функции

$$f(4) = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 4: Производная

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Шаг 5: Линейное приближение

$$f(3{,}99) \approx 2 + 0{,}25 \cdot (3{,}99 — 4) = 2 + 0{,}25 \cdot (-0{,}01) = 2 — 0{,}0025 = 1{,}9975$$

Ответ (г):

$$\boxed{{\displaystyle \sqrt{\mathrm{3,99}}\approx \mathrm{1,9975}}}$$