ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции у = $\frac{1}{x^2}$ < 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{9}{8}$.

Дана функция:
$f(x) = \frac{1}{x^2},\ x < 0$;

Пусть $x = a$ — точка касания, тогда:
$f(a) = \frac{1}{a^2}$;
$f'(a) = \left( \frac{1}{x^2} \right)’ = (x^{-2})’ = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} = -\frac{2}{a^3}$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = \frac{1}{a^2} — \frac{2}{a^3}(x — a) = \frac{1}{a^2} — \frac{2}{a^3}x + \frac{2}{a^2} = \frac{3}{a^2} — \frac{2}{a^3}x$;

Абсцисса точки пересечения прямой и оси $x$:
$\frac{3}{a^2} — \frac{2}{a^3}x = 0$;
$3a — 2x = 0$;
$2x = 3a$;
$x = \frac{3a}{2}$;

Ордината точки пересечения прямой и оси $y$:
$y(0) = \frac{3}{a^2} — \frac{2}{a^3} \cdot 0 = \frac{3}{a^2}$;

Площадь отсекаемого треугольника равна $\frac{9}{8}$:
$S = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{3a}{2} \right| \cdot \left| \frac{3}{a^2} \right| = \left| \frac{9}{4a} \right| = \frac{9}{8}$;
$|4a| = 8$;
$a = \pm \frac{8}{4} = \pm 2$;
$a = -2$;
$y = \frac{3}{(-2)^2} — \frac{2}{(-2)^3}x = \frac{3}{4} + \frac{2}{8}x = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$;

Ответ: $$$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

Дана функция:

$$f(x) = \frac{1}{x^2}, \quad x < 0$$

Нужно:

• Найти касательную к графику этой функции в некоторой точке $x = a$
• Эта касательная пересекает оси координат
• Площадь треугольника, ограниченного касательной и осями, равна $\frac{9}{8}$

Шаг 1. Значение функции и производной в точке касания

Пусть $x = a$ — точка касания.

Так как $a < 0$, функция определена.

Значение функции:

$$f(a) = \frac{1}{a^2}$$

Найдём производную функции:

$$f(x) = x^{-2} \Rightarrow f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3}$$

Значение производной в точке $x = a$:

$$f'(a) = -2a^{-3} = -\frac{2}{a^3}$$

Шаг 2. Уравнение касательной в точке $x = a$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим значения $f(a) = \frac{1}{a^2}$, $f'(a) = -\frac{2}{a^3}$:

$$y = \frac{1}{a^2} — \frac{2}{a^3}(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{a^2} — \frac{2}{a^3}x + \frac{2a}{a^3}$$

Упростим:

$$y = \frac{1}{a^2} — \frac{2}{a^3}x + \frac{2}{a^2}$$

Сложим подобные:

$$y = \left( \frac{1}{a^2} + \frac{2}{a^2} \right) — \frac{2}{a^3}x = \frac{3}{a^2} — \frac{2}{a^3}x$$

Шаг 3. Найдём координаты пересечения касательной с осями

Пересечение с осью Ox (абсцисса)

На оси Ox: $y = 0$

Подставим в уравнение касательной:

$$0 = \frac{3}{a^2} — \frac{2}{a^3}x$$

Решим уравнение:

$$\frac{2}{a^3}x = \frac{3}{a^2} \Rightarrow x = \frac{3}{a^2} \cdot \frac{a^3}{2} = \frac{3a}{2}$$

Точка пересечения с осью Ox имеет координаты:

$$\left( \frac{3a}{2},\ 0 \right)$$

Пересечение с осью Oy (ордината)

На оси Oy: $x = 0$

Подставим в уравнение касательной:

$$y = \frac{3}{a^2} — \frac{2}{a^3} \cdot 0 = \frac{3}{a^2}$$

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты:

$$\left( 0,\ \frac{3}{a^2} \right)$$

Шаг 4. Площадь треугольника, ограниченного касательной и осями координат

Мы имеем треугольник, образованный:

• Основание: от 0 до $\frac{3a}{2}$ по оси Ox
• Высота: от 0 до $\frac{3}{a^2}$ по оси Oy

Так как координаты могут быть отрицательными, площадь берём по модулю:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{3a}{2} \right| \cdot \left| \frac{3}{a^2} \right|$$

Воспользуемся свойством модулей:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3|a|}{2} \cdot \frac{3}{a^2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{|a|}{a^2} = \frac{9}{4|a|}$$

По условию:

$$S = \frac{9}{8} \Rightarrow \frac{9}{4|a|} = \frac{9}{8}$$

Умножим обе части на $8|a|$:

$$18 = 9|a| \Rightarrow |a| = 2 \Rightarrow a = \pm 2$$

Но по условию $x < 0$, значит:

$a = -2$

Шаг 5. Найдём уравнение касательной при $a = -2$

Ранее мы получили:

$$y = \frac{3}{a^2} — \frac{2}{a^3}x$$

Подставим $a = -2$:

$a^2 = 4$, $a^3 = -8$

$$y = \frac{3}{4} — \frac{2}{-8}x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}x \Rightarrow y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}}}$$