ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите все значения а, при каждом из которых касательная к графику функции у = $\cos 7x+7\cos x$ в точках с абсциссой а параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой $\frac{\pi }{6}$.

б) Найдите все значения а, при каждом из которых касательные к графикам функций у = $2-14\sin 3x$ и у = $6\sin 7x$ в точках с абсциссой а параллельны.

Найти все значения $a$, при которых касательные параллельны:

а) $f(x) = \cos 7x + 7\cos x, \; x = \frac{\pi}{6}$;

Производная функции:
$k = f'(x) = 7 \cdot (-\sin 7x) + 7 \cdot (-\sin x) = -7\sin 7x — 7\sin x$;

Производная в данной точке:
$k = f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -7\sin\frac{7\pi}{6} — 7\sin\frac{\pi}{6} = 7\sin\frac{\pi}{6} — 7\sin\frac{\pi}{6} = 0$;

Касательные параллельны:
$-7\sin 7x — 7\sin x = 0$;
$-7(\sin 7x + \sin x) = 0$;
$-7 \cdot 2\sin 4x \cdot \cos 3x = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 4x = 0$;
$4x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{4}$;

Второе уравнение:
$\cos 3x = 0$;
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $a_1 = \frac{\pi n}{4}; \; a_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

б) $f(x) = 2 — 14\sin 3x, \; g(x) = 6\sin 7x$;

Производные функций:
$k = f'(x) = (2)’ — 14 \cdot 3 \cdot \cos 3x = -42\cos 3x$;
$k = g'(x) = 6 \cdot 7 \cdot \cos 7x = 42\cos 7x$;

Касательные параллельны:
$-42\cos 3x = 42\cos 7x$;
$42\cos 7x + 42\cos 3x = 0$;
$\cos 7x + \cos 3x = 0$;
$2\cos 5x \cdot \cos 2x = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 5x = 0$;
$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$;

Второе уравнение:
$\cos 2x = 0$;
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $a_1 = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}; \; a_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

а) $f(x) = \cos 7x + 7\cos x$, при $x = \frac{\pi}{6}$

1. Что значит «касательные параллельны»?

Касательные к графику функции параллельны, если у них одинаковый наклон, то есть одинаковое значение производной.

Значит, нужно найти все $x = a$, при которых производная функции $f(x)$ равна значению производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$.

2. Найдём производную функции $f(x)$

$$f(x) = \cos(7x) + 7\cos(x)$$

Применим правило дифференцирования сложной функции:

• $(\cos(u))’ = -\sin(u) \cdot u’$

Итак:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}[\cos (7x)]+\frac{d}{dx}[7\cos (x)]=-\sin (7x)\cdot 7+7\cdot (-\sin (x))=$$

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[\cos(7x)] + \frac{d}{dx}[7\cos(x)] = -\sin(7x) \cdot 7 + 7 \cdot (-\sin(x)) = -7\sin(7x) — 7\sin(x)$$

3. Вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -7\sin\left(7 \cdot \frac{\pi}{6}\right) — 7\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -7\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) — 7\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Значения тригонометрических функций:

• $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$
• $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ (т.к. это III четверть, синус отрицательный)

Подставим:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} — \frac{7}{2} = 0$$

4. Теперь находим все значения $x$, при которых $f'(x) = 0$

$$f'(x) = -7\sin(7x) — 7\sin(x) = 0$$

Разделим обе части на $-7$ (возможно, только если $\neq 0$, но 0 не влияет на корни):

$$\sin(7x) + \sin(x) = 0$$

5. Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим для $\sin(7x) + \sin(x)$:

$$\sin(7x) + \sin(x) = 2\sin\left(\frac{7x + x}{2}\right)\cos\left(\frac{7x — x}{2}\right) = 2\sin(4x)\cos(3x)$$

Итак, уравнение:

$$2\sin(4x)\cos(3x) = 0$$

6. Приравниваем каждый множитель к нулю

1-е уравнение: $\sin(4x) = 0$

Решение:

$$4x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}$$

2-е уравнение: $\cos(3x) = 0$

Решение:

$$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ для пункта а):

$$\boxed{ a_1 = \frac{\pi n}{4}; \quad a_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3},\quad n \in \mathbb{Z} }$$

б) $f(x) = 2 — 14\sin(3x), \quad g(x) = 6\sin(7x)$

1. Условие: касательные к графикам двух разных функций параллельны

Значит, нужно найти $x = a$, при которых:

$$f'(x) = g'(x)$$

2. Найдём производную функции $f(x)$

$$f(x) = 2 — 14\sin(3x)$$

Дифференцируем:

• $(2)’ = 0$
• $(\sin(3x))’ = \cos(3x) \cdot 3$

Итак:

$$f'(x) = -14 \cdot \frac{d}{dx}[\sin(3x)] = -14 \cdot 3 \cdot \cos(3x) = -42\cos(3x)$$

3. Найдём производную функции $g(x)$

$$g(x) = 6\sin(7x) \Rightarrow g'(x) = 6 \cdot \frac{d}{dx}[\sin(7x)] = 6 \cdot 7 \cdot \cos(7x) = 42\cos(7x)$$

4. Приравниваем производные:

$$-42\cos(3x) = 42\cos(7x) \Rightarrow 42\cos(7x) + 42\cos(3x) = 0 \Rightarrow \cos(7x) + \cos(3x) = 0$$

5. Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Для $\cos(7x) + \cos(3x)$:

$$= 2\cos(5x)\cos(2x)$$

Итак, уравнение:

$$2\cos(5x)\cos(2x) = 0$$

6. Приравниваем множители к нулю

1-е уравнение: $\cos(5x) = 0$

$$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$$

2-е уравнение: $\cos(2x) = 0$

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для пункта б):

$$\boxed{{\displaystyle a_1=\frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5};a_2=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}}}$$